Tham khảo tài liệu 'phần iv : ứng dụng của bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | PHẦN IV ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1 Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị Kiến thức - Nếu f x A thì f x có giá trị nhỏ nhất là A - Nếu f x B thì f x có giá trị lớn nhất là B Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của T x-1 x-2 x-3 x-4 Giải Ta có x-1 x-4 x-1 4-x x-1 4-x 3 1 Và x - 2 x - 3 x - 2 3 - x x - 2 3 - x 1 2 Vậy T x-1 x-2 x-3 x-4 1 3 4 Ta có từ 1 Dấu bằng xảy ra khi 1 x 4 2 Dấu bằng xảy ra khi 2 x 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 x 3 Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của S xyz. x y . y z . z x với x y z 0 và x y z 1 Giải Vì x y z 0 áp dụng BĐT Côsi ta có x y z 33xyz 3xyz xyz j áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x y y z x z ta có x y . y z . z x 33 x y . y z . x z 2 3 x y . y z . z x Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 Vậy S 8 1 8 1 A 1 8 . ---. - -. Vậy S có giá trị lớn nhất là -y- khi 27 27 729 729 1 x y z 3 Ví dụ 3 Cho xy yz zx 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4 Giải Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số x y z x y z 2 2 2 2 2 2 2 9 2 Ta có xy yz zx x y z 1 x y z 1 Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho x2 y2 z2 và 1 1 1 Ta có x2 . v2 z2 2 12 12 12 x4 . v4 z4 x2 . v2 z2 2 3 x4 . V4 z4 I x I y I z f I I 1 A I A II x I y I z Ị I x I y I z Ị _II x I y I z Ị Từ 1 và 2 1 3 x4 y4 z4 x4 y4 z4 1 Vậy x4 y4 z4 có giá trị nhỏ nhất là 1 khi x y z -3 Ví dụ 4 Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất Giải Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x y Vì a không đổi mà x y 2a. Vậy S lớn nhất khi lớn nhất x y Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất 2 Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình Ví dụ 1 Giải phương trình 4y 3xx 6x 19 V5x2 10x 14 4 - 2x - xx Giải Ta có 3x2 6x 19 3. x2 2x 1 16 3. x 1 2 16 16 5x2 10x 14 5. x 1 2 9 9 Vậy 4ạ 3x2 6x 19 V5x2 10x 14 2 3 5 Dấu xảy ra khi x 1 0 x -1 V ậy 4 Ỉ3x x 6 x 19 V 5 x2 10 x 14 4 - 2 x - x x khi x -1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x -1 Ví dụ 2 Giải phương trình x sj2 - x2 4y y 4y 3 .
