Tham khảo tài liệu 'bài toán chứng minh', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | BÀI TOÁN CHỨNG MINH 85. Cho a 0 và f x là một hàm chẵn xác định và liên tục trên R. Chứng minh rằng với mọi X 6 R ta đều có Hướng dấh Đặt z - t dt fít Chứng minh f t dt f t dt GIẤI Đặt z - t dt - dz ta có p f t dt _ rx f -z -dz _ I azf z dz _ p a f t dt Txal 1 a x l x l az k a l p a l-ljf t dt p t_ p f t dt Xx a1 1 J-x Xx a1 1 o f t dt f t d t J x al 1 2ƯX J Xem tích phân I x f t đt Đặt u - t I f u -du f u du f t dt Do đó ta có - - . 2 f t dt f t dt a I X Vậy Với giả thiết đã cho ta có at ị 1 1 -------------------------------- ------------------------V _ . s 1- xndx 86. Chứng minh rằng JinỊ 0 X----------------------------- - ------------------------ Hướng dâh V X G 0 l ta có nhận xét gì về nhị thức 1 x XQ So sánh biểu thức và nn với X e 0 1 GIẢI Với mọi X e 0 ta có 1 X 1 1 x 0 xn 0 1 . Y xn l x 1 x Jx _x. A _ r 1 2 x dx _ . X0 1 I 1 Do đó ta co 0 I - -7 I xdx - n M dx n 4-1 10 114-1 Suy ra 0 lim f1 d Iim L__ - 0 x- x 1 X - n 4-1 f1 xDdx - n Vậy lim I ---- 0 1 X 87. Cho In xn Vl - xdx n 6 N 1. Chứng minh ráng In 1 --In 2n 4- 2. Chứng minh rằng In ----- I - n l vn l _ Hướng dán 1. Dùng phương pháp tích phân từng phần. Tính IIW1 bằng cách chọn u xn 1 dv Vl-xdx Suy ra hệ thức phải tìm. Tính In 2. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 2n và 2n 4- 2 _ 1 1 suy ra răng . - ----- ự2 2n 2 2n 1 Từ đó ta có đpcm GIẢI 1. Xem tích phân In 1 xn 1Vl - xdx Chọn u X0 1 dv V1 - xdx du n 4- l xndx V f 1 - x Vl - X 3 - x 1 l-x Vr 2 n - í xn l-x VT Tdx 3 3 2 n- í r xýl-x - xn 1 Vl-x ìdx 3 ẲiL J 2 n 1 3 I 2n 2 J 2n 5 Vậy I . I 3 wl 2n 5 2 Do đó ta CÓ I - 2n 3 . _ 2 n -1 - In- 2 71 -2 T _ 2 n - 2 . In-2 2 1 13 l2 11 J 2n 2 n - 1 2 n - 2 64 2 2 2n 3 2n 1 2n -1 9 7 5 3 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có o 2n 2n 2 _ 5 Ợ2n 2n 2 ----------- 2n 1 _JL_ ự2n 2n 2 2n 1 VA Í. 2n 2n Do đó ta có - ---- 2n 3 V 2n 4 2n 2 2 n - 1 2 n-l 2n 1 ự 2n 2 2n 2 n - 2 2 n - 2 2n -1 Ợ2n 2n - 2 9 .
