Định nghĩa thặng dư: Giả sử f(z) là một hàm giải tích trong một lân cận của điểm a trừ chính điểm a (nghĩa là a là điểm bất thường cô lập của f(z)). Nếu C là đường cong kín bất kì bao lấy điểm a và nằm trong lân cận nói trên thì theo định lí Cauchy, tích phân ∫ f (z)dz là một số không phụ thuộc C. Ta gọi thặng dư của hàm f(z) tại a là C | CHƯƠNG 5 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 1. KHÁI NIỆM VỀ THẶNG DƯ 1. Định nghĩa thặng dư Giả sử f z là một hàm giải tích trong một lân cận của điểm a trừ chính điểm a nghĩa là a là điểm bất thường cô lập của f z . Nếu C là đường cong kín bất kì bao lấy điểm a và nằm trong lân cận nói trên thì theo định lí Cauchy tích phân Cf z dz là một số không phụ thuộc C. Ta gọi thặng dư của hàm f z tại a là kết quả phép chia Cf z dz cho 2nj. Thặng dư được kí hiệu là Res f z a . Tóm lại 1 Res f z a f z dz 1 2njC Ví dụ Res 1 . 1 r 1 2 3-1 a C dz 1 z - a J 2nj C z - a 2nj 2. Cách tính thặng dư Công thức chung để tính thặng dư là Res f z a C-1 2 Trong đó C-1 là hệ số của ỉ trong khai triển Laurent của hàm f z tại lân cận điểm a. Chứng minh Theo công thức tính hệ số của khai triển Laurent cn 1 C f Z dZ 2n C - a n 1 Khi n -1 ta có 1 c-1 -ỊỵCf Z dZ Res f z a 2nj C a. Thặng dư tại cực điểm đơn Nếu a là cực điểm đơn của hàm f z thì Res f z a lim z - a f z 3 z a Ví dụ 1 Vì z 2 là cực điểm đơn của T. z ------ nên z - 2 Res f z a lim z - 2 z 2 -1 limz2 4 z 2 Ví dụ 2 Cho f z Ta đã biết 1 sinz . Tính thặng dư tại a 0 _ z3 z5 sinz z - -3 5 z1 k 2 4 zz ----1 -- 3 5 Ầ J 88 1 zx0 Căn cứ vào khai triển này ta thấy điểm z 0 là không điểm đơn của sinz. vậy điểm z 0 là cực điểm đơn của f z - . Theo 3 ta có sin z Res f z a lim z - z 0 L sin z f1 z Định lí Giả sử f z 2 trong đó fT z và f2 z là những hàm giải tích tại a. Điểm f20 a là không điểm đơn của f2 z0 và không phải là không điểm của fT z . Khi đó Res f z a f1 a 4 J f2 a Chứng minh Theo giả thiết ta thấy a là cực điểm đơn của f z . Theo 3 ta có Res f z a lim z - a z f2 z zxa fi z f2 z lim zxa _ z - a _ Vì f2 a 0 nên ta có thể viết limf1 z Res f z a H - f a lim f2 z f2 a z-XT z - a Ví dụ 3 Tính thặng dư của f z cotgz Vì a 0 là đơn của cotgz nên theo 4 ta có Resiffzï al flLal cos0 I Res i z a 1 f a cos0 fi a f a Ví dụ 4 Tính thặng dư của hàm f z z tại a 2j. z 4 Vì 2j là không điểm đơn của z2 4 nên nó là cực điểm đơn của f z . Theo 4 ta có Res f z a TT 2j 1 1 .
