14 Đề thi tuyển sinh sau đại học môn Đại số dưới đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc nghiên cứu và ôn thi tốt chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh cao học tiếp theo. Chúc bạn thi tốt. | §¹i häc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2000 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lµm bµi: 180 phót C©u I. M lµ tËp hîp c¸c ma trËn cÊp n (n ≥ 1), thùc, kh¶ nghÞch. 1. Chøng minh r»ng M lµ nhãm ®èi víi phÐp nh©n ma trËn. 2. C ∈ M cè ®Þnh. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ f : M → M , f (A) = C −1 AC lµ mét ®ång cÊu nhãm. T×m Im f , Ker f (hay chøng minh r»ng f lµ ®¼ng cÊu). 3. Chøng minh rµng ¸nh x¹ f1 : M → R , f1 (A) = |A| lµ ®ång cÊu nhãm. T×m Im f1 , Ker f1 . C©u II. Chøng minh r»ng C lµ nhãm ®èi víi phÐp nh©n th«ng th-êng. XÐt c¸c ¸nh x¹ f : C → C , f (α) = α, g : C → C , g(α) = α lµ ®ång cÊu nhãm, ®¬n cÊu, toµn cÊu hay kh«ng? T×m Im f , Ker f . C©u III. Chøng minh r»ng c¸c phÐp biÕn ®æi trùc giao trªn kh«ng gian Euclid E lµm thµnh mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n (phÐp hîp thµnh), ký hiÖu G. Gi¶ sö g ∈ G. §Æt ¸nh x¹ ϕ : G → G, ϕ(f ) = g −1 f g. Chøng minh r»ng ϕ lµ ®¼ng cÊu nhãm. C©u IV. C[x] lµ vµnh. §Æt ¸nh x¹ ϕ : C [x] → C [x] , f (x) → f (x) (®-îc hiÓu lµ a 0 + a1 x + . + anxn). 1. Chøng minh r»ng ϕ lµ ®ång cÊu nhãm. 2. Chøng minh r»ng R[x] lµ vµnh con mµ kh«ng idean. C©u V. 1. Chøng minh r»ng c¸c ma trËn ®èi xøng cÊp n lËp thµnh nhãm aben ®èi víi phÐp céng, ký hiÖu nhãm nµy lµ M . 2. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ f : M → M , f (A) = A (chuyÓn vÞ cña A) lµ ®ång cÊu nhãm. T×m Im f , Ker f . 3. Chøng minh r»ng tËp M c¸c ma trËn ®èi xøng thùc cÊp n lËp thµnh R-kh«ng gian vÐc t¬ (hay R-kh«ng gian vÐc t¬ con cña kh«ng gian c¸c ma trËn vu«ng cÊp n). 4. T lµ ma trËn kh¶ nghÞch (kh«ng nhÊt thiÕt ®èi xøng). Chøng minh r»ng ¸nh x¹ f : M → M , f (A) = T −1 AT lµ ®ång cÊu (tøc lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh). §¹i häc Quèc gia Hµ Néi §Ò thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2000 M«n thi c¬ b¶n: §¹i sè Thêi gian lµm bµi: 180 phót C©u I. T×m h¹ng cña hÖ vÐc t¬ a1 , a2 , a3 ∈ R3 theo tham sè a a1 = (1, a, 1) , a2 = (1, 1, a) , a3 = (a, 1, 1) . T×m phÇn bï trùc tiÕp cña L = {a1, a2 , a3 } khi a = −2 hoÆc a = 1. C©u II. BiÕt R5 [x] lµ kh«ng gian c¸c ®a thøc cã bËc nhá h¬n 5. Cho f (x) = 1 + x 2 +
