Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 3: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân trong kinh tế. nội dung chi tiết. | 02/11/2017 Chương 3: Tích phân GV. Phan Trung Hiếu §1. Tích phân bất định §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân suy rộng LOG §4. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế O 2 I. Nguyên hàm: Định nghĩa . Cho hàm số f xác định trên khoảng D. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D F ( x ) f ( x ), x D. Ví dụ : Định lý . Với C là một hằng số tùy ý, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều có dạng F(x) + C. x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 ) 2 x. x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 3) 2 x. x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 C ) 2 x. 3 II. Tích phân bất định: Định nghĩa . Tích phân bất định của hàm số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất cả các nguyên hàm của f trên D. Tích phân bất định của f được ký hiệu là 4 Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2 thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có f ( x)dx F ( x) C F ( x) f ( x) Ví dụ . 2x dx x 2 C vì ( x 2 ) 2 x. f ( x )dx , trong đó : dấu tích phân. x : biến lấy tích phân. f ( x ) : hàm lấy tích phân. f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân. 5 6 1 02/11/2017 III. Tính chất: IV. Bảng tích phân cơ bản: k . f ( x )dx k f ( x )dx với k là hằng số. f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx. Xem Bảng 3. f ( x )dx f ( x ) C . f ( x )dx f ( x). 7 8 I. Công thức Newton-Leibniz: §2. Tích phân xác định Định lý (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích phân xác định của f từ a đến b là b f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a ) a 9 10 II. Tính chất: III. Các phương pháp tính tích phân: Dạng 1: Tính tích phân bằng cách dùng các công thức tích phân cơ bản, công thức Newton-Leibniz. a f ( x)dx 0 a a b f ( x )dx f ( x .
