Bài viết "Phương pháp sai phân và ứng dụng đối với bài toán biên tự do" có nội dung chính là phân tích bài toán biên tự do một chiều, cách làm và phương pháp giải toán nhanh nhất. | T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN TỰ DO Nguyễn Đình Dũng- Trần Mạnh Tuấn (Khoa Công nghệ Thông tin - ĐH Thái Nguyên) Phạm Minh ChuNn (Khoa Công nghệ thông tin – Đại học SPKT Hưng Yên) 1. Bài toán biên tự do một chiều . Giới thiệu bài toán Xét bài toán biên tự do (FBP1) Tìm hàm u ( x, t ) thoả mãn 0 0 ds = −u x ( s (t ), t ) 0 F (t ) . 75 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 . Phương pháp sai phân penalty . Bài toán sai phân Gọi D = {0 ≤ x ≤ l; 0 ≤ t ≤ T} là miền giới hạn tìm nghiệm, Sử dụng phương pháp sai phân ta phủ miền D bằng lưới sai phân: G = {(m, n) : x m = mh; t n = nk , m = 0,1, ., M ; n = 0,1,, N } () Trong đó h, k lần lượt là bước lưới không gian và thời gian: h = l / M ; k = T / N Đặt u ( xm , tn ) ≈ vm, n khi đó bài toán FBP2 được xấp xỉ bởi bài toán sai phân FBP3: Tìm v m ,n thoả mãn hệ: v m ,n +1 − v m, n v 0, N k = fn v M ,n = 0 = v m −1,n − 2v m, n + v m +1, n h2 0≤n≤ N − Kλ m , n v m , n 1≤ m ≤ M; 0 ≤ n ≤ N () 0≤n≤ N ϕ v m,0 = m 0 () () 1 ≤ m ≤ [b / h] () 0 0, 0 ≤ ϕ ( x) ≤ D(b − x) ∀x ∈ [0, b] iv. b > 0 1 2 Từ những giả thiết trên ta suy ra các định lý sau: v. 0 < γ ≤ Định lý 1: Nếu các hàm f , ϕ thoả mãn giả thiết A và K = ( thì u m( j,)n , s n( j ) ) 1 trong đó σ ≥ 0 và 0 < h < 1 / B k hội tụ đều tới nghiệm duy nhất của bài toán FBP3 khi j → ∞ . Định lý 2: Nếu các hàm f , ϕ thoả mãn giả thiết A và K = 1+σ 1 trong đó σ ≥ 0 thì nghiệm của k bài toán FBP3 hôi tụ đều tới nghiệm của bài toán FBP1 khi h → 0 . . Phương pháp sai phân n Trong mục này chúng tôi trình bày lược đồ sai phân Nn xấp xỉ bài toán vi phân FBP2. 1+σ Tìm hàm v m ,n thỏa mãn hệ sau: v m , n − v m, n −1 v 0,n k = fn v M ,n = 0 ϕ v m, 0 = m 0 λ m,n = v m −1, n − 2v m, n + v m +1, n h2 0≤n≤ N − Kλ m , n v m , n 0≤n≤ N 1 ≤ m ≤ [b / h] [b / h] < m ≤ M 0 1 ≤ m ≤ mn − 1, 0 ≤ n ≤ N 1− ρ n = m = mn
