Độ rung tự do của dầm vật liệu có chức năng hai chiều (2-D FGM) là nghiên cứu bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Các thuộc tính vật liệu được giả định là được xếp loại cả chiều dày và hướng dọc theo phân bố pháp luật quyền lực. Phương trình chuyển động dựa trên lý thuyết chùm Timoshenko có nguồn gốc từ nguyên lý Hamilton. Một chùm tia bậc cao phần tử bằng cách sử dụng các hàm phân cấp để nội suy các chuyển vị và phép quay được xây dựng và được sử dụng trong phân tích. Để nâng cao hiệu quả của nguyên tố, biến dạng cắt bị ràng buộc thành hằng số. | Vietnam Journal of Science and Technology 56 (3) (2018) 380-396 DOI: FREE VIBRATION OF TWO-DIRECTIONAL FGM BEAMS USING A HIGHER-ORDER TIMOSHENKO BEAM ELEMENT Tran Thi Thom1, 2, *, Nguyen Dinh Kien1, 2 1 2 Institute of Mechanics, VAST, 18 Hoang Quoc Viet, Ha Noi Graduate University of Science and Technology, VAST, 18 Hoang Quoc Viet, Ha Noi * Email: thomtt0101@ Received: 25 September 2017; Accepted for publication: 26 March 2018 Abstract. Free vibration of two-directional functionally graded material (2-D FGM) beams is studied by the finite element method (FEM). The material properties are assumed to be graded in both the thickness and longitudinal directions by a power-law distribution. Equations of motion based on Timoshenko beam theory are derived from Hamilton's principle. A higher-order beam element using hierarchical functions to interpolate the displacements and rotation is formulated and employed in the analysis. In order to improve the efficiency of the element, the shear strain is constrained to constant. Validation of the derived element is confirmed by comparing the natural frequencies obtained in the present paper with the data available in the literature. Numerical investigations show that the proposed beam element is efficient, and it is capable to give accurate frequencies by a small number of elements. The effects of the material composition and aspect ratio on the vibration characteristics of the beams are examined in detail and highlighted. Keywords. 2-D FGM, Timoshenko beam, hierarchical functions, free vibration, FEM. Classification numbers: ; ; . 1. INTRODUCTION Functionally graded materials (FGMs), initiated in Japan in 1984 during a space project [1], are increasingly used as structural elements in modern industries such as aerospace structures, turbine blades and rocket engine components. Many researches on vibration behavior of FGM beam structures have been reported in the .
