Bài viết tập trung chứng minh một vài trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski về bài toán "Số điểm của một lưới nguyên nằm trong một tập compact lồi trong không gian Euclide R^n". | CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI Nguyễn Thanh Phong - Trần Ngọc Quốc1 Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một vài trường hợp riêng của giả thuyết Minkowski về bài toán "Số điểm của một lưới nguyên nằm trong một tập compact lồi trong không gian Euclide Rn ". Từ khóa: Lattices, Minkowski’s theorem, Minkowski’s conjecture. 1. Giới thiệu Một trong những vấn đề cơ bản của Hình học số là nghiên cứu số điểm chung của một lưới nguyên với một tập đo được trong Rn . Nếu C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì Hermann Minkowski phỏng đoán rằng số điểm chung của một lưới nguyên Λ và C là một số hữu hạn và số điểm chung là một hàm đếm G(C, Λ) = card(C ∩ Λ) bị chặn trên. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ giới thiệu lại giả thuyết Minkowski và kiểm chứng kết quả đúng trong một số trường hợp riêng. 2. Kiến thức chuẩn bị Trong bài báo này, Rn là không gian Euclide với tích vô hướng được định nghĩa n X x, y = xi y i . i=1 Định nghĩa . Cho {λ1 , . . . , λn } là họ các vectơ độc lập tuyến tính trong Rn . Tập hợp tất cả các điểm x = u1 λ1 + · · · + un λn với {u1 , . . . , un } là họ những số nguyên, được gọi là một lưới nguyên trong Rn của cơ sở {λ1 , . . . , λn }, ký hiệu Λ := Zλ1 + · · · + Zλn , với Z là tập hợp các số nguyên. Định nghĩa . Cho Λ là lưới nguyên trong Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Số thực λi (C, Λ) = inf{r ∈ R∗+ / rC chứa ít nhất i điểm độc lập tuyến tính của Λ}, ở đây i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n và rC = {rx với x ∈ C}, được gọi là cực tiểu thứ tự thứ i của lưới nguyên Λ tương ứng với tập C. 1 Trường Đại học Quảng Nam CHỨNG MINH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA GIẢ THUYẾT MINKOWSKI Nhận xét . Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập compact lồi, phần trong khác rỗng, đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi đó, ta có 0 < λ1 (C, Λ) ≤ λ2 (C, Λ) ≤ · · · ≤ λn (C, Λ) < +∞. Nhận xét . Cho Λ là lưới nguyên trong không gian Rn và C là tập .
