Bài viết khảo sát một bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Bài toán được quy về việc khảo sát một phương trình tích phân loại tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber với các đánh giá sai số. | Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp Landweber Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 CHỈNH HÓA BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP LANDWEBER Phạm Hoàng Quân*, Phan Trung Hiếu Lê Minh Triết, Nguyễn Quang Huy† 1. Mở đầu Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt nhằm xác định phân bố nhiệt độ tại thời điểm ban đầu t = 0 từ phân bố nhiệt độ đo được tại thời điểm sau đó, chẳng hạn tại t = 1. Bài toán này còn có thể coi như một bài toán điều khiển: bài toán điều khiển phân bố nhiệt độ ban đầu (t = 0) để có thể nhận được phân bố nhiệt độ như ý muốn tại thời điểm t = 1. Đây là một bài toán không chỉnh theo nghĩa là nó không luôn luôn tồn tại nghiệm và ngay cả khi nghiệm của bài toán tồn tại thì nó lại không phụ thuộc liên tục theo dữ kiện. Bài toán này được rất nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát. Chúng ta có thể tham khảo [1], trong đó ngoài các tài liệu trích dẫn phong phú, tác giả còn cho ta một cái nhìn tổng quan về các phương pháp khảo sát cũng như chỉ ra những vấn đề còn bỏ ngỏ của bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Cụ thể, trong [2], các tác giả đưa ra nghiệm chỉnh hóa như là tổ hợp tuyến tính một số hữu hạn các hàm riêng của toán tử - và trong [3], tác giả chỉnh hóa bài toán trong trường hợp tổng quát như là một phương trình vi phân trong không gian Hilbert trừu tượng. Để ý rằng miền phân bố nhiệt khảo sát trong [2] và [3] là các miền bị chặn. Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt trên . Bài toán sẽ được chuyển về một phương trình tích phân loại tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber cũng như đưa ra đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng nếu sai số giữa dữ kiện chính xác và dữ kiện nhận được do đo đạc là thì sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa có bậc là 1 khi 0. 1 ln * TS, Đại Học Sài .
