| Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2016-2017 - Sở GD&ĐT Hà Nội SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ NỘI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1: (5,0 điểm) 1. Chứng minh n5 5n3 6n chia hết cho 30, với mọi số nguyên dương n. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho x 2 8 y và y 2 8 x là các số chính phương Câu 2: (5,0 điểm) 3 6 3 1. Giải phương trình 2 x 2x 1 x x 2x 4x x y x y 5y 2. Giải hệ phương trình 5y x x y x y Câu 3: (3,0 điểm) Với các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x 2 y 2 z 2 2 1. Chứng minh x y z 2 xy x y z 2. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P 2 yz 2 zx 2 xy Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (BC>CA>AB) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác góc ABC tại điểm thứ hai M. Gọi P là trực tâm tam giác BCM 1. Chứng minh bốn điểm A, cùng thuộc một đường tròn 2. Đường thẳng H song song với AO cắt cạnh BC tại E. Gọi F là điểm trên cạnh BC sao cho CF=BE. Chứng minh ba điểm A,F,O thẳng hàng 3. Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Chứng minh PN=PO Câu 5 ( 1,0 điểm) Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Hai người A và B lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số n thì đảm bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số 2n+2. Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên? ------------------------Hết------------------------ Họ và tên thí sinh: . ; Số báo danh: ; Phòng thi số: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm
