Tài liệu mang tính chất tham khảo. Giúp các bạn ôn thi và đào sâu kiến thức hóa học. | Hạt trong hộp một chiều Lý Lê Ngày 12 tháng 7 nam 2009 Tóm tắt nội dung Hàm sóng ở trạng thái tĩnh và các mức năng lượng của hệ một hạt trong không gian một chiều có thể được xác định thông qua việc giải phương trình Schrodinger sau 2 d2b x . . . . . . V x x E x 1 2m dx2 Đây là một phương trình vi phân nên trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề có liên quan đến phương trình vi phân. 1 Phương trình vi phân Phương trình vi phân là một phương trì nh chứa một hàm ẩn và các đạo hàm của nó. Nghiệm của một phương trình vi phân là hàm ẩn chứ không phải là những hằng số như trường hợp của phương trì nh đại số. Ví dụ d ddx - Cv L Cv L Phương trì nh trên chứa hàm ẩn y x và các đạo hàm của nó y x y x . Nghiệm cần tìm là y x . Đây là một phương trình vi phân bậc hai. Một cách tổng quát bậc của phương trì nh vi phân là bậc đạo hàm cao nhất của hàm ẩn. Với những áp dụng của cơ học lượng tử vào hóa học chúng ta thường chỉ quan tâm đến những phương trình vi phân dạng cơ bản đó là phương trình liên quan đến biến độc lập x biến phụ thuộc y x và đạo hàm bậc nhất bậc hai . bậc n của y f x y y y . y n 0 2 Một dạng đặc biệt của phương trì nh vi phân là phương trình vi phân tuyến tính có dạng An x y n An-i x y ra-1 -- A0 x y g x 3 1 với Aj í 0 1 . n là hàm thay đổi theo biến x. Nếu trong 3 g x 0 thì ta có phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian trong không gian một chiều là một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc hai. Bằng cách chia cho hệ số của y ta có thể biến phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính bậc hai trở thành y P x y0 Q x y 0 4 Nếu yi và y2 là nghiệm của 4 thì y ciyi c2y2 5 cũng là nghiệm của 4 y1 và y2 gọi là nghiệm riêng y gọi là nghiệm tổng quát ci và c2 là các hằng số. Thật vậy ta có thể chứng minh 5 là nghiệm của 4 như sau. Thế 5 vào 4 ta có Ciy00 C2y2 P x ci yí P x c2y2 Q x ci yi Q x c2y2 0 hay ci y P x yi Q x yi c2 y2 P x y2 Q x y2 ci0 c20 0 do yi và y2 là các nghiệm của 4 nên các biểu thức .
