Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 được biên soạn bởi Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, giáo viên trong quá trình ôn luyện, củng cố, đánh giá năng lực Vật lí của học sinh lớp 1. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo đề thi. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI TOÁN Ngày thi 18 - 10 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 180 phút. Bài 1. 4 điểm xy x y 1 Giải hệ phương trình 3 4 x 12 x 9 x y 6 y 7 2 3 Bài 2. 4 điểm 1 u1 2 Cho dãy số un xác định bởi 3u 4 un 1 n n N 2 un 1 Chứng minh dãy số un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. 4 điểm 1 1 1 Cho x y z là các số dương thỏa mãn 1 . Chứng minh x y z x yz y zx z xy xyz x y z Bài 4. 4 điểm Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao AH BK nội tiếp đường tròn O . Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn O sao cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F . Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn O thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 5. 4 điểm Tìm tất cả các đa thức P x hệ số thực thỏa mãn P x .P x 3 P x 2 x HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ VÒNG 1 Bài 1. 4 điểm xy x y 1 Giải hệ phương trình 3 4 x 12 x 9 x y 6 y 7 2 3 Giải yz z 2 Đặt z x 1 Hệ phương trình tương đương 3 y 3 y z 2 4 z 0 3 yz z 2 yz z 2 3 y 3y z 4z 0 y z y 2z 2 3 1 17 1 17 5 17 5 17 z z x x 4 4 4 4 y 1 17 y 1 17 y 1 17 y 1 17 2 2 2 2 Bài 2. 4 điểm 1 u1 2 Cho dãy số un xác định bởi 3u 4 un 1 n n N 2un 1 Chứng minh dãy số un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Giải Từ giả thiết ta suy ra un 0 n N 3x 4 3 5 5 Xét f x với x 0 f x 0 x 0 2 x 1 2 2 2 x 1 2 x 1 2 1 u1 Ta có 2 un 1 f un n N 3 5x f x x 0 và f x 4 0 x 0 2 2x 1 3 un 4 n 2 dãy un bị chặn 2 x u2 n 1 Đặt n yn u2 n Do f x nghịch biến trên 0 nên g x f f x đồng biến trên 0 f xn f u2n 1 u2 n yn f yn f u 2n u 2n 1 xn 1 g xn f f xn f yn xn 1 1 11 49 u1 u2 u3 . Ta thấy u1 u3 x1 x2 2 4 26 Giả sử rằng xk xk 1 g xk g xk 1 xk 1 xk 2 . Vậy xn xn 1 n N Suy ra xn tăng và bị chặn trên xn có giới hạn hữu hạn a . Do xn xn 1 f xn f xn 1 yn yn 1 dãy yn giảm và bị chặn dưới yn có giới hạn hữu .
