Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức) đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, giáo viên trong quá trình ôn luyện, củng cố, đánh giá năng lực Toán của học sinh lớp 12. | SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất Năm học 2012 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi 09 10 2012 Thời gian lam bai 180 phút ̀ ̀ Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang Câu 1 5 điểm x 3 y 2 2y 8 Giải hệ phương trình y z 2z 8 3 2 z3 x 2 2x 8 Câu 2 5 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi P Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Các đường thẳng AP AQ lần lượt cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng đường thăng AH DQ EP đông quy tai môt ̉ ̀ ̣ ̣ ̉ điêm. Câu 3 6 điểm Cho phương trình ẩn x tham số n nguyên dương 3 x 2x 2 3x 3 . nx n 0 4 a Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất kí hiệu nghiệm đó là x n . 1 b Chứng minh rằng lim x n . 3 Câu 4 4 điểm Cho tập Sn 1 2 3 n với n là số nguyên dương lớn hơn 2. Có bao nhiêu cách chia tập Sn thành ba tập con khác rỗng hợp với nhau bằng S n và đôi một giao với nhau bằng rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp HẾT Họ và tên thí sinh . Số báo danh . Họ và tên chữ ký Giám thị 1 . Giám thị 2 . SỞ GD amp ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT Kỳ thi thứ nhất Năm học 2012 2013 MÔN TOÁN Ngày thi 09 10 2012 hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án Điểm x 3 y 2 2y 8 x 3 y 1 2 7 3 3 Ta có y z 2z 8 y z 1 7 x y z gt 1 2 2 1 0 z3 x 2 2x 8 z 3 x 1 2 7 1 Giả sử x max x y z y 1 2 max x 1 2 y 1 2 z 1 2 1 0 y max x y z x y y z . Vậy x y z. 1 5 5 điểm Khi đó ta có phương trình x 3 x 2 2x 8 x 3 x 2 2x 8 0 x 2 x 2 x 4 0 x 2 1 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y z 2 2 2 . 0 5 2 A 5 điểm Q P B C D H E Cách 1 ﾷ BAH ﾷ ACH ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ 1ﾷ 1 0 BAE BAH HAE BAH HAC 2 ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ 1ﾷ BEA ACH EAC ACH HAC 2 ﾷ ﾷ BEA EAB tam giác ABE cân tại đỉnh B. 1 0 ﾷ Mà BP là đường phân giác góc ABE BP là đường trung trực của đoạn AE PA PE . 1 0 ﾷ ﾷ ﾷ 1 ﾷ ﾷ 1ﾷ Mặt khác PAE PAH HAE BAH HAC BAC 450 2 2 PAE vuông cân tại đỉnh P EP AD . 1 0 Tương tự DQ AE . Vậy AH DQ EQ là các đường cao của tam giác ADE suy ra AH DQ EP đồng quy. 1 0 Cách 2 Áp dụng tính
