Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 – Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 – Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang (Đề chính thức) là tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các em học sinh lớp 12 đang chuẩn bị ôn tập cho kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TUYÊN QUANG CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010 2011 Môn Toán Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi này có 01 trang Câu 1. 4 điểm x 4 y 4 97 a Giải hệ phương trình 3 x y y 3x 78 b Giải phương trình 3 x 2 5 x 5 x 2 5 x 7 Câu 2. 4 điểm a Tìm các số nguyên tố x y là nghiệm của phương trình x 2 - 2y 2 - 1 0 b Cho n là 1 số tự nhiên. Chứng minh 1 1 1 1 2 . 2 3 2 4 3 n 1 n Câu 3. 4 điểm Cho dãy số Un xác định bởi U1 a - 1 trong đó 1 së gi o dôc vµ µo t o k thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 tuyªn quang NĂM HỌC 2010 - 2011 M n thi To n Hướng dẫn chấm Câu Nội dung Điể m 1. x 4 y 4 97 a Giải hệ phương trình sau 3 I x y y 3x 78 Ta có x y x y - 2x 2y 2 4 4 2 2 2 x 2 y 2 2 - 2x 2y 2 97 1 I xy x 2 y 2 78 2 Đặt x 2 y 2 u xy t Từ PT 2 suy ra ĐK u 0 t 0 u 2 - 2t 2 97 u 2 - 2t 2 97 ut 78 2 2 0 5 u - 2t - 12168 u 2 - 2t 2 là nghiệm của phương trình bậc hai X2 97X 12168 0 X 169 và X 72 x 2 y 2 13 u 2 169 x 2 y 2 2 169 2 xy 6 t 36 2 xy 36 xy - 6 0 5 x 2 y 2 13 Gíải PT xy 6 được 4 nghiệm x y 2 3 3 2 2 3 3 2 0 5 Hệ 1 có 4 nghiệm 2 3 3 2 2 3 3 2 Tóm lại hệ có 4 nghiệm như trên. 0 5 1. Giải phương trình 3 x 2 5 x 5 x 2 5 x 7 1 b 5 5 x 2 Điều kiện x 5 x 5 0 2 5 5 x 2 Đặt x 2 5 x 5 t t 0 Phương trình đã cho trở thành t 1 t 2 3t 2 0 0 5 t 2 x2 5x 5 1 x2 5x 4 0 2 2 x 5x 5 4 x 5x 1 0 0 75 x 1 x 4 5 21 0 75 x 2 Câu 2. Tìm các số nguyên tố x y là nghiệm của phương trình x 2 - 2y 2 - 1 0 1 Ta có 1 0 5 2 2 x - 1 2y x - 1 x 1 2y .y Vì x y là các số nguyên tố nên có các khả năng sau sảy ra x 1 2y x 3 1. thoả mãn x 1 y y 2 x 1 y x 3 2. loại x 1 2 y y 2 0 75 x 1 2y2 3. không có nghiệm thoả mãn x 1 1 x 1 1 4. vô nghiệm x 1 2y2 Thử lại 3 2 thoả mãn PT. 0 75 Vậy 3 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. 2. Giả sử n là 1 số tự nhiên. Chứng minh b 1 1 1 1 2 . 2 3 2 4 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 Ta có n. n. n . n 1 n n n 1 n n 1 n 1 n n n 1 0 5 1 1 1 1 n 1 1 1 1 n . 1 lt 2. n n 1 n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n Vì dễ thấy 1 Un 1 Từ 1 suy ra