Đề thi cao học toán của ĐH Vinh, Môn giải tích. Mời các bạn cùng tham khảo. | ĐẶNG XUÂN CƯƠNG - CAO HỌC 12 - GIẢI TÍCH - ĐẠI HỌC VINH Kỷ niệm hè 2005 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn Giải tích Ngành Toán Thời gian làm bài 180 phút Câul. 1 Giả sử hàm f R2 R cho bởi công thức X2 y f x y í X2 y2 0 nếu X2 y2 0 nếu X2 y2 0 a Xét tính liên tục của f trên R2. b Xét tính khả vi của hàm f tại điểm o o . 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi 1 ly Y ỵ X Íí2n 1è 1 X 0 Câu 2. Kí hiệu 11 í X Xn Xn e C n e N I1 X 1 1 _ 2 d1 X y ỂIXn -ynI d2 X y 1Xn -yj n 1 è n 1 0 Chứng minh rằng a d1 d2 lần lượt là các mêtric trên 11 b không gian 11 d1 đầy đủ khả li. c Không gian 11 d 2 không đầy đủ. với X Xn y y thuộc 11. Câu 3. Giả sử C o 1 là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên o 1 với chuẩn sup và A C o 1 C o 1 biến X thành Ax cho bởi Ax t t2 x í với mọi X e C o 1 và t e o 1 a Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A b Chứng tỏ rằng a C 0 1 là không gian con đóng của C o 1 . Câu 4. Ánh xạ f X Y từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với tập đóng A bất kì ta có f à đóng trong Y. Chứng minh rằng f X Y là đóng khi và chỉ khi f A ì f a với mọi A ì X . 1 ĐẶNG XUÂN CƯƠNG - CAO HỌC 12 - GIẢI TÍCH - ĐẠI HỌC VINH Kỷ niệm hè 2005 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn Đại số Ngành Toán Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Gọi En 1 Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc n với hệ số thực. Trong E cho các đa thức uk x với 0 k n được xác định như sau u0 0 uk x x x - 1 x - 2 --- x - k 1 với 0 k n. a Chứng minh rằng các đa thức uk k 0 lập thành một cơ sở của En 1. b Hãy chứng tỏ tổn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính j của En 1 thoả mãn n 1 điều kiện j xk uk k 0 1 2 K n . Và j là một song ánh. c Xác định ánh xạ 3 En 1 En 1 bởi điều kiện 3 p x p x 1 - p x p x e En 1. Hãy chứng minh 3 là một ánh xạ tuyến tính
