Bài giảng Toán đại cương: Chương 2 Giải tích, cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số thực nhiều biến; Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị; Cực trị tự do; Cực trị có điều kiện. Mời các bạn cùng tham khảo! | HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 2 GIẢI TÍCH Giảng viên Trịnh Thị Hường Bộ môn Toán Email trinhthihuong@ NỘI DUNG CHÍNH 1. Hàm số thực nhiều biến 2. Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị a. Cực trị tự do b. Cực trị có điều kiện 1. Khái niệm hàm số Cho tập ℝ2 . Một quy luật đặt tương ứng mỗi cặp với một số thực ℝ được gọi là một hàm của hai biến độc lập và . Kí hiệu ℝ Ví dụ a. 2 3 3 b. ln 2 2 1 4 2 2 . 2. Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị Định nghĩa 1 Cho hàm xác định trong lân cận của điểm 0 0 . Đạo hàm riêng cấp 1 theo tại điểm 0 0 nếu có được kí hiệu và xác định như sau 0 0 0 0 0 0 lim . 0 - Tương tự có đạo hàm riêng cấp 1 theo tại 0 0 là 0 0 . Nhận xét Trong thực hành muốn tính ĐHR cấp 1 theo thì coi là hằng số và đạo hàm như đối với hàm một biến. Tương tự tính đạo hàm riêng theo thì coi là hằng số. Ví dụ Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1 của hàm số 2 4 3 4 2 3 1 . Định nghĩa 2 Đạo hàm riêng cấp 2 . Nhận xét Trong chương trình học . Ví dụ Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai của hàm sau 2 2 3 8 . Ứng dụng ĐHR tìm cực trị của hàm hai biến a. Cực trị tự do Định nghĩa Hàm đạt cực đại cực tiểu tại điểm 0 0 nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó 0 0 . tương ứng 0 0 . Kí hiệu Đ . Điều kiện cần của cực trị Định lý Nếu hàm đạt cực trị tại điểm 0 0 và tại đó có các ĐHR thì 0 0 0 0 0 0 Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là một điểm dừng hay điểm tới hạn của hàm số. Điều kiện đủ của cực trị Định lý Giả sử điểm 0 0 là một điểm dừng của hàm và tại đó hàm số có các ĐHR cấp hai . 0 0 0 0 0 0 - Nếu 2 gt 0 thì M không là cực trị. - Nếu 2 lt 0 thì M là cực trị khi đó Nếu gt 0 thì M là cực tiểu Nếu lt 0 thì M là cực đại. - Nếu 2 0 thì chưa kết luận được về tính cực trị của M b. Cực trị có điều kiện Bài toán Tìm cực trị của hàm với điều kiện 0. Phương pháp giải Phương pháp nhân tử lagrang. Xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến có ràng buộc ቊ . 0 Lập hàm lagrang . Điều kiện cần của cực trị Nếu hàm số đạt cực trị tại 0 0 0 thì tồn tại
