Tài liệu "Sử dụng tính chất của lũy thừa để giải phương trình và hệ phương trình" gồm 10 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Vũ Hồng Phong (giáo viên Toán trường THPT Tiên Du số 1, tỉnh Bắc Ninh), hướng dẫn phương pháp sử dụng tính chất của lũy thừa để giải phương trình và hệ phương trình. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt và đạt kết quả cao. | Xin nhắc lại một số tính chất của lũy thừa đã biết Với x 1 x 1 3 2 0 thì Tính chất 1. Cho n là số nguyên dương. x 1 x 1 2 0. 3 1 Với a b là số thực ta có Theo tính chất 1 ta có a b a 2n 1 b2 n 1. 2 9 x 1 x 1 3 2 3 2 9 3 8 2 Với a b là số thực không âm ta có a b a 2 n b2 n . 5 x 1 x 1 3 2 1 15 1. 3 Với a b là số thực không dương ta có Suy ra VT 1 9. a b a 2 n b2 n . 4 Cho a là số thực dương b là số thực ta có Với x 1 x 1 3 2 0 thì a b a b a2n . x 1 x 1 2 0. 2n 3 a b hoặc b gt a b 2n a2n . Theo tính chất 1 ta có 2 9 x 1 x 1 3 2 3 2 9 Tính chất 2. Với n là số nguyên dương và a b là 3 8 số thực ta có 5 x 1 x 1 3 2 1 15 1. a b C a C a b . C a n 1 n k b . C b n 0 n 1 k k n n n n n n công thức nhị thức Newton . Suy ra VT 1 9. Sau đây là một số thí dụ có vận dụng các tính chất x 1 này. Với x 1 x 1 3 2 0 . x 1 2 3 Thí dụ 1. Giải phương trình Khi này VT 1 9. Vậy phương trình đã cho có x2 3 2 x 1 x4 2 x3 2 9 1 . 9 5 đúng 2 nghiệm x 1 x 1 3 2. Lời giải. Ta có Thí dụ 2. Giải phương trình VT 1 x 1 x 1 2 x 1 3 2 9 3 33 33 2 1 2 1 x 3x 2 x x 2 3 1 1 . 33 x 4 2 x3 3 1 5 x x Lời giải. ĐK x 0 . Khi đó 9 x 1 x 1 2 2 3 3 1 2 1 33 2 33 VT 1 1 x 1 x 1 x 1 x . x x x 1 x3 3x 2 3x 3 1 5 1 1 1 x 0 nên 1 x 1 x 1 x . 2 2 Do 9 x 1 x 1 3 2 3 2 x x Theo tính chất 1 ta có 5 x 1 x 1 2 1 . 3 Số 533 11-2021 1 VT 1 2 x2 4 1 x x2 4 1 x . 33 33 21 21 1 2 1 1 x x 1 x 1 x x 2 . Áp dụng công thức nhị thức Newton có 1 1 Tương tự do 1 x 1 x 1 x nên 1 x C21 C21 x C21 x . C21 2 21 0 1 2 2 21 21 x . x x 33 33 Tương tự 1 2 1 1 x x 1 x 1 x x 1 x C21 C21 x C21 x . C21 21 0 1 2 2 21 21 3 . x . Suy ra P x 1 x 1 x 21 21 Từ 2 và 3 suy ra 2 C21 C212 x2 . C2120 x20 . 33 33 1 1 0 VT 1 1 x 1 x 4 . x x Thay x 2 vào ta được Áp dụng BĐT Cauchy ta có 321 1 2 C21 0 C212 22 . C2120 220 . 1 1 1 x x 2 x . 2. x x x Với x2 4 theo tính chất 1 ta có 2 x2 4 1 x 1 x 21 21 Theo tính chất 1 với n là số nguyên dương có 2n 1 2n 1 x2 4 1 x 1 x 21 . 21 x x 2 . 2n x x 1 Suy ra VT 1 P x 2 . Do x2 22 nên theo Đặt t x ta có t 2n 22n 5 . Áp dụng
