Bài viết Phương pháp biến đổi đại số giải phương trình bậc cao trong trường Galoa mở rộng đề xuất phương pháp trực tiếp giải phương trình bậc 3, bậc 4 trong trường hữu hạn dựa trên biến đổi đại số phương trình đã cho về phương trình chính tắc bậc 2. | Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO TRONG TRƯỜNG GALOA MỞ RỘNG Phạm Khắc Hoan1 Trần Thái Hà1 Vũ Sơn Hà2 1Khoa Vô tuyến điện tử Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn 2Viện Khoa học và Công nghệ quân sự Tóm tắt Bài báo đề xuất phương pháp trực tiếp giải phương trình bậc 3 bậc 4 trong trường hữu hạn dựa trên biến đổi đại số phương trình đã cho về phương trình chính tắc bậc 2. Kết quả nhận được có thể tổng quát hóa để giải phương trình trong trường hữu hạn kích thước bất kỳ đồng thời cho phép giảm độ phức tạp và độ trễ xử lý đáng kể so với các phương pháp truyền thống nhờ đó có thể ứng dụng trong các hệ thống thông tin tốc độ cao. Từ khóa Trường Galoa phép nhân trường hữu hạn mã hóa sửa lỗi cơ sở đa thức cơ sở chuẩn hóa. 1. Đặt vấn đề Trường hữu hạn được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật và khoa học máy tính như mã hóa chống nhiễu mật mã học 1 . Một số trường hợp yêu cầu giải phương trình trong trường hữu hạn ví dụ cần giải phương trình khóa khi giải mã mã BCH Reed- Solomon Goppa hoặc khi giải mã hệ mật dựa trên mã hóa như hệ mật Mc-Eliece. Berlekamp là một trong những tác giả có đóng góp đáng kể trong việc nghiên cứu vấn đề phân tích thừa số trong trường hữu hạn trên cơ sở đó có thể tìm nghiệm của đa thức bậc cao thông qua các nhân tử của nó 2 . Giải phương trình bậc cao trong trường hữu hạn là một bài toán cổ điển luôn nhận được sự quan tâm của cộng đồng nghiên cứu và cho đến nay vẫn còn khá nhiều thách thức. Một số phương pháp gián tiếp để giải phương trình trong trường hữu hạn bao gồm thực hiện các thuật toán lặp như thủ tục Chien thực hiện thông qua biến đổi Fourier trên trường Galoa 2 3 . Tuy nhiên các phương pháp này thường có độ trễ tính toán khá lớn do tính chất lặp của chúng. Thủ tục Chien thực chất cần phải lần lượt kiểm tra tất cả các phần tử của trường vì vậy có độ trễ xử lý lớn khi đa thức có bậc cao và trường có kích thước lớn. Các phương pháp trực tiếp giải phương trình bậc cao trong trường hữu hạn .
