Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Toán cao cấp A1: Phần 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Nguyên hàm và tích phân bất định; tích phân xác định; tích phân suy rộng; chuỗi số dương và các tiêu chuẩn hội tụ; phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo! | Chương III TÍCH PHÂN 1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Giả sử hàm số f x xác định trên a b . Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của f x trên a b nếu F x f x với mọi x a b . Nếu F x là một nguyên hàm của hàm f x trên a b thì F x C C là hằng số bất kỳ cũng là một nguyên hàm của hàm f x vì F x C F x f x . Ngược lại nếu G x F x là hai nguyên hàm của hàm f x thì G x F x C C là hằng số bất kỳ vì G x F x G x F x f x f x 0 với mọi x a b suy ra G x F x C. Định nghĩa Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f x trên a b được gọi là tích phân bất định của hàm f x trên a b ký hiệu f x dx . Khi đó f x được gọi là hàm số dưới dấu tích phân f x dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Vậy f x dx F x C F x f x II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1 f x dx f x hay d f x dx f x dx 2 F x dx F x C hay dF x F x C 3 Af x Bg x dx A f x dx B g x dx A B hằng số III. BẢNG TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN dx 0dx C 1 x 2 arctan x C dx adx a dx ax C 1 x 2 arc cot x C xα 1 ax x dx a dx α C α 1 x C α 1 ln a dx dx 1 x a x ln x C x 2 a 2 2a ln x a C cos xdx sin x C dx 1 a x a 2 x 2 2a ln a x C sin xdx cos x C dx x 2 a 2 ln x x a C 2 2 dx dx x 1 tan x dx tan x C a 2 x 2 arcsin a C 2 cos 2 x 50 dx dx 1 x sin x2 cot gx C a 2 x 2 arctan C a a dx f x dx 1 x2 arcsin x C f x ln f x C dx Nếu f x dx F x C thì 1 x 2 arccos x C 1 f ax b dx a F ax b C x có thể là biến độc lập hay là hàm khả vi của biến khác sin 2 xdx sin x C vì sin2xdx 2sinxcosxdx d sin2x . Tuy nhiên vì 2 Ví dụ 1 1 sin 2 xdx d cos 2 x do đó sin 2 xdx cos 2 x C 2 2 1 Không vì thế mà ta suy ra sin 2 x cos 2 x 2 IV. HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Phương pháp đổi biến số Định lý Nếu hàm số x ϕ t có đạo hàm liên tục và có hàm ngược t ϕ 1 x . Khi đó f x dx f ϕ t ϕ t dt F t C F ϕ x C 1 dx Ví dụ Tính I 1 x Đặt t x x t2 dx 2tdt tdt 1 I 2 2 1 dt 2 t ln 1 t C 2 x ln 1 x C 1 t 1 t Ví dụ dx x 2dt a Tính I . Đặt t tan x 2 arctan t dx sin x 2 1 t2 2t sinx 1 t2 dt x I ln t C ln tan C t 2 dx b Chứng minh công thức I ln x x 2 a C x
