Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích trong việc tự học, ôn thi, tạo tâm thế vững vàng, có thể tự đánh giá và nâng cao vốn kiến thức, giúp trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. | GIẢI TÍCH CƠ SỞ Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân 3. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE Chuyên ngành Giải Tích PPDH Toán Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 1 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Điều kiện khả tích theo Riemann Nếu hàm f khả tích trên a b theo nghĩa tích phân xác định thì ta cũng nói f khả tích theo Riemann hay R -khả tích. Định lý 1 Hàm f khả tích Riemann trên a b khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điiều kiện sau i. f bị chặn. ii. Tập các điểm gián đoạn của f trên a b có độ đo Lebesgue bằng 0. 2. Định nghĩa tích phân theo Lebesgue Cho không gian độ đo X F ự và A E F f A R là hàm đo được n a Nếu f là hàm đơn giản không âm trên A và f 52 với Ai E F Ai n Aj 0 i j và u Ai A thì ta định nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo ự bởi i 1 n fdự aiự Ai b Nếu f là hàm đo được không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản không âm fn sao cho fn x fn 1 x lim fn x f x x E A n -tt Khi đó ta định nghĩa fdự lim fndự n A A Chú ý rằng tích phân hàm đo được không âm luôn tồn tại là số không âm và có thể bằng X 1 c Nếu f là hàm đo được thì f x max f x 0 f x max -f x 0 là các hàm đo được không âm và ta có f x f x f - x . Nếu ít nhất một trong các tích phân Ị f dp Ị f-dp là số hữu hạn thì ta định nghĩa Ị fdp Ịf dp Ị f - dp Ta nói f khả tích trên A nếu fdp Ị f dp Ị f -dp là số hữu hạn . tồn tại và hữu hạn hay cả hai tích phân 3. Các tính chất Cho không gian độ đo X F p Một số các tính chất quen thuộc Giả sử A E F và f g là các hàm đo được không âm trên A hoặc khả tích trên A. Khi đó ta có A A c A Vc E R AA Nếu f x g x Vx E A thì fdp Ị gdp Nếu A Al U A2 với Al A2 E F Al n A2 0 thì j fdp j fdp j fdp A A1 A2 Sự không phụ thuộc tập độ đo O. Khái niệm hầu khắp nơi Định nghĩa Giả sử P x là một tính chất phát biểu cho mỗi x E A sao cho Vx E A thì hoặc P x đúng hoặc P x sai. Ta nói tính chất P x đúng hay xảy ra hầu khắp nơi viết tắt hkn trên tập A nếu tập B x E A P x không đúng được chứa trong một tập C E F mà p C 0 hoặc p B 0 nếu đã biết B E F . Ví dụ 1 Giả sử f g đo được
