Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về phương trình vi phân cấp hai tuyến tính | BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH Gv TRẦN XUÂN THIỆN Toán cao cấp 2 Ngày 03/11/2008 Kiểm tra bài cũ Giải phương trình sau : y’’ - 5y’ + 6y = 0 Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 () Nghiệm của phương trình đặc trưng r2 + pr + q = 0 () Nghiệm của phương trình () r1 , r2 thực , r1 ≠ r2 r1 = r2 = r r1 , r2 = α ± iβ ,α ,β thực Kiểm tra bài cũ Giải phương trình sau : y’’ -5y’+6y = 0 Giải : Phương trình đặc trưng : r2 – 5r + 6 = 0 (*) Phương trình (*) có nghiệm : Vậy nghiệm tổng quát tương ứng là : Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi. . f(x) = (x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. . f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn(x) là một đa thức bậc n. . f(x) = (x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. PTVTC2 có dạng y’’ + py’ + qy = (x) Nghiệm riêng của phương trình () có dạng: Y = e (x) () với Qn(x) là đa thức bậc n Các hệ số Qn(x) được xác định bằng cách lấy đạo hàm các cấp của Y thay vào phương trình đã cho rồi cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bội của x. Nghiệm riêng của phương trình () có dạng : Y = x. e (x) Nghiệm riêng của phương trình () có dạng : Y = x2. e (x) α2 + pα + q ≠ 0 Ví dụ Giải các phương trình sau : 1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x 2. y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) 3. y’’ -2y + y = phương trình : y’’ + y’-2y = 1 – x Giải : Vế phải có dạng : f(x) = e (x) , α = 0, P1(x) = 1 - x Phương trình đặc trưng : r2 + r – 2 = 0 r = 1; r = -2 Nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + y’-2y = 0 là : y = C1ex + C2e- 2x Vì α = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng vậy nghiệm riêng Y có dạng: Y = e (x) = P1(x) y = Ax + B ( A, B là hằng số ) Y’ = A , Y’’ = 0 . Thay vào phương trình đã cho ta được : Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = -2Ax + A – 2B = 1 - x Đồng nhất hệ số ta được : Vậy : phương . | BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH Gv TRẦN XUÂN THIỆN Toán cao cấp 2 Ngày 03/11/2008 Kiểm tra bài cũ Giải phương trình sau : y’’ - 5y’ + 6y = 0 Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 () Nghiệm của phương trình đặc trưng r2 + pr + q = 0 () Nghiệm của phương trình () r1 , r2 thực , r1 ≠ r2 r1 = r2 = r r1 , r2 = α ± iβ ,α ,β thực Kiểm tra bài cũ Giải phương trình sau : y’’ -5y’+6y = 0 Giải : Phương trình đặc trưng : r2 – 5r + 6 = 0 (*) Phương trình (*) có nghiệm : Vậy nghiệm tổng quát tương ứng là : Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi. . f(x) = (x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. . f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn(x) là một đa thức bậc n. . f(x) = (x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n. PTVTC2 có dạng y’’ + py’ + qy = (x) Nghiệm riêng của phương trình ()
