Bài tập: Chứng minh giả thiết compact là cần thiết trong định lý Weierstrass. ( Hd: Chứng minh hàm f (x) = ex không thể xấp xỉ đều bởi đa thức trên R.) Bây giờ ta xét đến trường hợp tổng quát. Định nghĩa. Tập A các hàm xác định trên K ⊂ Rn gọi là đại số nếuu ∀f, g ∈ A, α ∈ R, f + g, f g | 38 2 gồm các p p - x iđó A-kxI 1 ê k kỗ IE2 I 2M 2Í rp x p kx kỗ M kx 1 - x kỗ2 2rp x p 0 M ĨPĨẽ Tóm lại với e 0 tồn tại ỗ 0 sao cho If x - Bk x 2 1 1 1 E2 1 e M ĩỗĩk Vậy khi k M 2ỗ2e ta có sup If x Bk x I 2e. x 1 Bài tập Chứng minh giả thiết compact là cần thiết trong định lý Weierstrass. Hd Chứng minh hàm f x ex không thể xấp xỉ đều bởi đa thức trên R. Bây giờ ta xét đến trường hợp tổng quát. Định nghĩa. Tập A các hàm xác định trên K c R gọi là đại số nếuu Vf g eA a e R f g fg và af e A. Đại số hàm A gọi là tách điểm nếuu Vx y e K x y - eA p x p y . Ví dụ. a Tập R x1 xn các đa thức n biến thực là đại số hàm trên R . b Tập các đa thức lượng giác dạng k a0 2 ap sinpx bp cospx ap bp e R k G N P 1 là một đại số hàm trên R. c Cho P1 ps K R. Lớp các hàm có dạng sau là một đại số hàm trên K k 2 api .ps p x A x với api .ps e R k e N. pi I ps 0 Bài tập Chứng minh các đại số ở ví dụ a và b là tách điểm. Định lý Stone-Weierstrass Cho K là tập compact trong R . Giả s ử A cC K là một đại số các hàm liên tục trên K tách điểm và chứa hàm hằng. Khi đó với mọi hàm hàm liên tục trên K có thể xấp xỉ đều bởi hàm trong A . Vf e C K 3gk eA gk keN hội tụ đều về f. Định lý Stone-Weierstrass. 39 Chứng minh Stone-1948 Ta chuẩn bị một số bổ đề. Bể đề 1. Đặt A g g là giới hạn đều của dãy hàm thuộc A . Khỉ đó A c C K là đại số tách điểm chứa hàm hằng. Hơn nữa nếu dãy hàm hk c A hội tụ đều về h thì h e A . A A. Thực vậy rõ ràng A là đại số hàm hên tục do Mệnh đề và tách điểm chứa hàm hằng vì chứa A. Hơn nữa giả sử hk c A hội tụ đều về h. Khí đó với mọi k tồn tại dãy gkyi c A hội tụ đều về hk khí i to . Theo qui tắc đường chéo Bài tập lập luận kiểu tồn tại dãy gk gơ k i k c A hội tụ Về h. Vậy h G A. Bể đề 2. Với mọi x y E K a ft G R tồn tại hàm h E A h x a h y ft. Để xây dựng h áo A tách điểm tồn tại ự G A p x y . Định nghĩa h z a ft a x . Khí đó h là hàm cần tìm. iP ỳ x Bể đề 3. Nếu h1 h2 E A th 1 max hi h2 min hi h2 E A Thậtvậy do max hi M h1 h2 h1 Hvà min hi h2 h1 h2
