Tham khảo tài liệu 'chuyên đề ôn thi đại học môn toán - bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAuChY an ữỵữ . an ian 2--a2n aia2- a2n z _ J--------------- 1 n s n -1 n-1 n-1 12 n-1 Trước hết xin nêu ra và chứng minh bất đẳng thức CauChy dạng tổng quát Cho n số không âm a1 a2 . an. Khi đó a a2 an n 2 n e N. n Dấu xảy ra a1 a2 Ta chứng minh BĐT trên bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy Với n 2 Hiển nhiên BĐT đúng. Ta nhận thấy rằng nếu BĐT đúng với n số thì cũng đúng với 2n số vì ai a2 a2n ai a2 an a 1 an 2 a2n Mặt khác nếu BĐT đúng với n số thì nó cũng đúng với n - 1 số. Thật vậy ta chỉ cần chọn s 5 __ a ------ s a a a. lừ đó 5 -- n Ịị n n 1 1 2 n-1 n 1 V Đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến bằng nhau đpcm . Phương pháp chứng minh trên gọi là phương pháp quy nạp CauChy. Cách chứng minh trên quá hay và quá ngắn gọn do nhà Toán học CauChy đưa ra chính vì thế đôi khi ta lầm tưởng rằng CauChy là người đầu tiên phát hiện ra nó. Thực ra BĐT trên có tên là BĐT AM - GM Arithmetic Means - Geometric Means . Trong chương trình toán THPT ta thường sử dụng BĐT trên cho 2 số hoặc 3 số không âm. Đối với 2 số không âm a và b ta có Đối với 3 số không âm a b c ta có Xin minh họa phương pháp cân bằng hệ VD mở đầu Cho a b c dương. CMR a b I j ab 2 a b c 3r ------- y abc 3 số qua VD dưới đây a3 b3 2 M Áp dụng BĐT CauChy cho 3 số dương là 7bTT 2 ah a ư Hướng dẫn a3 b c b c t ó. b c 8 8 a3 b c b c b c 2 33 a3 b c 2 3a b c 4 4 1 b3 Hoàn toàn tương tự a c 2 3b 4 c a 4 2 và a b 2 3c a b 4 4 3 a3 b3 c3 Cộng 1 2 và 3 vế theo vê ta có a a b . 4 ak đpcm Dấu xảy ra a b c. Bình luận Cách làm trên rất hay ngắn gọn. Tuy nhiên có gì đó có vẻ. .ăn may Cơ sở nào để áp 1 Giothoimai2003 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI dụng BĐT CayChy cho 3 số dương b a 2 Số thứ nhất đã có còn 2 số sau lấy ở đâu ra Cách làm trên là hoàn toàn có cơ sở. Chúng ta để ý rằng vai trò của a b c trong bài toán là như nhau nên dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi mà a b c Kiểm tra
