Trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi l trường ống nếu có trường vectơ (D, G ) với G = {X1, Y1, Z1} sao cho F = rot G. Tức l ∂Z 1 ∂Y1 ∂X 1 ∂Z 1 ∂Y1 ∂X 1 X= Y= − Z= () − − ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y Trường vectơ G gọi l trường thế vị của trường vectơ F. Từ định nghĩa suy ra nếu F l trường ống thì div F = div (rot G) = 0 () Có thể chứng minh rằng điều ngược lại cũng. | Giáo trình hình thành lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton Nếu F là trường chất lỏng thì thông lượng chính là lượng __. chất lỏng đi qua mặt cong S theo hướng pháp vectơ n trong một đơn vị thời gian. Cho trường vectơ D F với F X Y Z . Trường vô hướng dX dY dZ div F dx dy dz gọi là divergence nguồn của trường vectơ F. Ví du Cho trường vectơ F xy yz zx và điểm A 1 1 -1 Ta có div F y z x và div F A 1 1 - 1 2 Đinh lý Cho F G là các trường vectơ và u là trường vô hướng. Divergence có các tính chất sau đây. 1. div F G div F div G 2. div u F u div F grad u F Chứng minh Suy ra từ định nghĩa và các tính chất của đạo hàm riêng. Giả sử Q là miền đóng nằm gọn trong miền D và có biên là mặt cong kín S trơn từng mảnh định hướng theo pháp vectơ ngoài n. Khi đó công thức Ostrogradski được viết lại ở dạng vectơ như sau. f F n dS ffl divFdV S a Chọn Q là hình cầu đóng tâm A bán kính e. Từ công thức và định lý về trị trung bình của tích phân bội ba suy ra. div F A lim F n dS e o V S Theo công thức trên nguồn của trường vectơ F tại điểm A là lượng chất lỏng đi ra từ điểm A theo hướng của trường vectơ F. Cho trường vectơ D F và điểm A e D. Nếu div F A 0 thì điểm A gọi là điểm nguồn. Nếu div F A 0 thì điểm A gọi là điểm thủng. Ví du Cho trường vectơ F xy yz zx Ta có div F y z x div F 1 0 0 1 0 điểm 1 0 0 là điểm nguồn div F -1 0 0 -1 0 điểm -1 0 0 là điểm thủng Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 105 ương 6. Lý Thuyết Trường Đ5. Hoàn lưu Cho trường vectơ D F và đường cong r kín trơn từng khúc nằm gọn trong miền D định hướng theo vectơ tiếp xúc T. Tích phân đường loại hai K J F T ds IXdx Ydy Zdz r r gọi là hoàn lưu của trường vectơ F dọc theo đường cong kín r. Nếu F là trường chất lỏng thì hoàn lưu là công dịch chuyển một đơn vị khối lượng chất lỏng dọc theo đường cong r theo hướng vectơ T. Cho trường vectơ D F với F X Y Z . Trường vectơ dz ax rot F a aZ I aZ aZ J aZ aZ k gọi là rotation xoáy của trường vectơ F. Ví
