Tham khảo tài liệu 'nhiều cách giải khác nhau câu 5 đề thi đại học khối a, b năm 2011', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | NHIỀU CÁCH GIẢI KHÁC NHAU CÂU 5 ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A B NĂM 2011 Sưu tầm tổng hợp các bài giải của nhiều tác giả trên Internet ĐỀ Khối AI .2011 Câu V 1 0 điểm Cho x y z là ba số thực thuộc đoạn 1 4 và x y x z. Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z biểu thức P 2 ----1--------1-----. Cách 1 Trước hết ta chứng minh 11 2 --- -- ---1 1 a 1 b 1 yjab với a và b dương ab 1. Thật vậy a b 2 1 Jab 2 1 a 1 b a b Jãb 2 Jab a b 2ab Jab - 1 Jã - Jb 2 0 luôn đúng với a và b dương ab 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b hoặc ab 1. Áp dụng với x vày thuộc đoạn 1 4 và x y ta có 2 x 3 y 1 2 --- X - r . 1 z 1 x 2 3y 1 x y z x y y Dấu xảy ra khi và chỉ khi z hoặc 1 Đặt x t t e 1 2 . Khi đó P y 2t2 3 1 1 1 t1 2 2t2 3 1 t Xét hàm f t - 2 t3 4t - 3 3t 2t -1 9 1 t e 1 2 f t L 2 .2 v .2 J 0. 2t2 3 2 1 1 2 f t f 2 33 dấu xảy ra khi và chỉ khi t 2 x 4 x 4 y 33 y P 33. Từ 1 và 2 suy ra dấu xảy ra khi và chỉ khi x 4 y 1 và z 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 34. 33 khi x 4 y 1 z 2. Cách 2 Lấy đạo hàm theo z ta có P z 0 Ị -y x x - y z - xy y z 2 z x 2 y z 2 z x 2 Nếu x y thì P 6 5 Ta xét x y thì P P ựxy x 2Jỹ 2 x 3 y Jỹ Jx Khảo sát hàm P theo z ta có P nhỏ nhất khi z xy Đặt t P thành f t 3 - -3 t e 1 2 y 2t2 3 1 1 -2 4t3 t -1 3 2t2 -t 3 0 u 2t2 3 2 t 1 2 Vậy P f t f 2 33. Dấu xảy ra khi x 4 y 1 z 2 Vậy min P 33. 33 Cách 3 Đặt a y b c t y bc thì ta có -3 a 1 abc 1 và 1 t 2. x y z 4 Biểu thức P được viết lại thành 1 1 1 P 3a 2 b 1 c Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 1 b c 2 b c 2 1 1 bc b 1 c 1 b 1 c 1 bc b c 1 bc b c 1 1 1 bc 2 2 bc 2 ỉbẽ 1 ỉbẽ 1 t 1 Từ đó suy ra 1 2 P . ----- 3a 2 t 1 3 I ọ t -7 2 t2 Khảo sát hàm f t trên đoạn 1 2 ta thấy t2 2 --------- f t . 2t2 3 t 1 v 7 f t 2 vì 3t 2t2 3 2 1 t 1 2 0 Tãt t 1 2t2 3 33 3 t 1 2t2 3 22 3 t 1 2t2 3 _ 4t 1 t 1 0 . 2 Do đó f t là hàm nghịch biến trên 1 2 suy ra 34 P f t f 2 34. 33 Mặt khác dễ thấy đẳng thức xảy ra khi x 4 y 1 và z 2. 34 Vậy ta đi đến kết luận min P . 33 Cách 4 Xét hàm số f x 2i 3y y z T i f x 2x 3y 2 - z Ta sẽ