Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng 1. Phương pháp hợp lí cực đại Định nghĩa . Giả sử (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ), Î U. Hàm L(X/ ) = f(X1, )f(X2, ) f(Xn, ) được gọi là hàm hợp lí. Định nghĩa . Thống kê nếu được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của L(X/ (X) L(X/ ) với mọi *(X) = Ø được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của hàm tham số t( ). Trường hợp một tham số. Để tìm ước. | Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng 1. Phương pháp hợp lí cực đại Định nghĩa . Giả sử Xb X2 . Xn là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f x ĩ U. Hàm L X 0 f X1 f X2 0 . f Xn đ được gọi là hàm hợp lí. Định nghĩa . Thống kê . XJ được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của nếu L X é X L X 0 với mọi đ. X T-Xj được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của hàm tham số t . 0 Trường hợp một tham số. Để tìm ước lượng hợp lí cực đại ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực đại hàm L X mà chúng ta đã từng quen biết. Ta biết rằng để cho hàm L X có cực trị ờL x e _0 địa phương tại ộ điều kiện cần là Ỡ0 . Giải phương trình này tìm các nghiệm của nó sau đó ta xét dấu của đạo hàm hạng nhất hay hạng hai để tìm cực đại hàm L X 0 . _n .ỆXÌ L X À nP X XJ r 1 nxt i i Ví dụ . Giả sử X1 X2 . Xn là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối Poisson với tham số à 0. Tìm ước lượng hợp lí cực đại của à . Giải. Phân phối của Xi là P Xi Xi Xi 0 1 2 . Hàm hợp lý Ễxt nxj dJnL X k _Q _l x. lnL X A ln - n - Iri 1 i í . . . -lỉx Vậy nếu ch h ĩ n ĩ Ta lại có aalnL XA x ĩỉ Ả . _ Vậy tại n 1-1 thì tức là hàm L X đạt cực đại. Từ đó suy ĩ 1 __ i n2X ra 111-1 là ước lượng hợp lý cực đại của 0 Trường hợp tham số là một vectơ 9 t . r Làm tương tự như trường hợp 1 tham số. Ta giải hệ phương trình y g nf xL e _0 ử ỡe í . ỷainf x e _0 lè 86. - Giải hệ này ta tìm được .9 ainLỢÍ 0 Đặt 1 ĩ . Nêu ma trận MXA utl x e0 u X e0 là xác định không âm thì tại 0 hàm hợp lí L X đạt cực đại. Ví dụ . Giả sử X1 X2 . Xn là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn N a 2 . Tìm ước lượng hợp lí cực đại của a 2 . f X a o2 1 Giải. Ta có y2 Tĩơ2 . Xị-Ị i ki 2 n LnfX a 2
