Tài liệu tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 11 | Së GD&§T Hµ tÜnh Trêng THPT ®øc thä §Ò thi chän häc sinh giái To¸n 11 n¨m häc 2008 - 2009 Thêi gian: 180 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò bµi C©u 1. (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh C©u 2. (1,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x, y, z kh¸c 0, ta cã: C©u 3. (2,0 ®iÓm) Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: T×m c«ng thøc tÝnh un theo n. C©u 4. (2,0 ®iÓm) Tæng cña m nh÷ng sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp b»ng 2008. X¸c ®Þnh c¸c sè ®ã. C©u 5. (2,5 ®iÓm) Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC. A’B’C’. Gäi I, J, K lÇn lît lµ t©m cña c¸c h×nh b×nh hµnh ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’. a) Chøng minh r»ng (IJK) song song víi c¸c mÆt ®¸y. b) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng AJ, CK, BI ®ång quy. __HÕt__ §¸p ¸n vµ thang ®iÓm C©u 1. (5 ®iÓm) C©u 2: (4 ®iÓm) Ta cã: Céng ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®îc: (1) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d¬ng, ta ®îc: (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: Tõ ®ã ta cã bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. C©u 3: Ta cã: Dù ®o¸n un = 10n + n (1) Chøng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + 1 c«ng thøc (1) ®óng víi n = 1. Gi¶ sö c«ng thøc (1) ®óng víi n = k ta cã: uk = 10k + k Ta cã: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). C«ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1. VËy un = 10n + n, C©u 4. (4 ®iÓm) Gi¶ sö tæng cña m sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè k b»ng 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + + (k + m - 1) = 2008 NÕu m lÎ 2k + m - 1 ch½n. Khi ®ã: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (kh«ng x¶y ra) NÕu m ch½n 2k + m - 1 lÎ. Ta cã: VËy c¸c sè cÇn t×m lµ 118, 119, 133. C©u 5. (3 ®iÓm) Trªn tia BI, lÊy ®iÓm H sao cho BH = a. Khi ®ã BH = AB = BC nªn ta cã: Do ®ã: MH = AM vµ NH = CN. Suy ra M, H, N th¼ng hµng, BI vu«ng gãc víi Mn t¹i H vµ MN = AM + NC. VËy V× AM = 3MD nªn §Æt NC = x, ¸p dông ®Þnh lý Pitago cho tam gi¸c vu«ng MDN, ta cã:
