Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
65_15

Không đóng trình duyệt đến khi xuất hiện nút TẢI XUỐNG Tải xuống

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 65, 2011VỀ MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH.Trương Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.Lương Thị Minh Thủy, Trường Đại học Sư phạm, Đại học HuếTÓM TẮT.Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu với mỗi m ∈ N il (M ) và mỗi.đồng cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f (x).với mọi x ∈ mR. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của lớp.các môđun tựa nội xạ linh và chứng tỏ một số kết quả được biết có thể suy ra từ.các đặc trưng này1. Giới thiệu.Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn.vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R đã cho, viết MR.(R M ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của.bài viết, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản chúng ta viết.môđun M thay vì MR . Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A.là môđun con (t.ư., thực sự) của M . Nếu A là môđun con cực đại (hạng tử trực.tiếp) của môđun M , chúng ta viết A ≤max M (t.ư., A ≤⊕ M ). Căn Jacobson,.đế của môđun M được ký hiệu tương ứng là Rad(M ) và Soc(M ); đặc biệt, J(R).được dùng để ký hiệu cho căn Jacobson của vành R. Chúng ta viết Mn (R) để chỉ.vành các ma trận vuông cấp n với hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập hợp với.card(I) = α và M là một môđun, tổng trực tiếp α bản sao của M được ký hiệu.bởi M (I) hoặc M (α) , tích trực tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc M α . Chúng ta.ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm trù các R-môđun phải (t.ư., trái)Cho M và N là các R-môđun phải. Đồng cấu từ M đến N được hiểu là đồng.cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ =.6 X ⊂ M . Linh hóa tử phải của X.trong R được ký hiệu là rR (X) và được xác định như sau.rR (X) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X)}Khi không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR (X). Với.X = {x1 , x2 , . . . , xn } ta viết r(x1 , x2 , . . . , xn ) thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }). Ta có.rR (X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M thì.r(X) là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký.hiệu là lR (X) và được định nghĩa tương tự157.Như chúng ta được biết, một R-môđun phải Q được gọi là nội xạ nếu mỗi biểu.đồ gồm các đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là khớp.Q.f0p.6 Ip p f¯.pp.p.iA-pB-đều tồn tại một đồng cấu f¯ : B → Q để biểu đồ trên giao hoán, nghĩa là f¯i = fNăm 1940, Baer đã đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính nội xạ.của môđun như sau: R-môđun phải Q là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi biểu đồ gồm.các đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là khớp.Q.f0-p.6 Ip p f¯.pp.pIi-pRRtrong đó I là iđêan phải của R, đều tồn tại một đồng cấu f¯ : RR → Q để biểu.đồ trên giao hoán, nghĩa là f¯i = fTừ khi có tiêu chuẩn Baer cho tính nội xạ, hai hướng phát triễn của mở rộng.nội xạ cùng tồn tại. Đầu tiên là mở rộng nội xạ theo định nghĩa gốc. Từ định.nghĩa này, Ming đã lấy các R-môđun phải A là các R-môđun phải xyclic trong.biểu đồ giao hoán trên, ta có định nghĩa C-nội xạ. Tiếp tục theo hướng đó, nếu.trong biểu đồ giao hoán trên lấy các R-môđun phải A là đế của B, ta được khái.niệm soc-nội xạ mạnh (theo [2]). Bài báo này tiếp tục xét các môđun A trong.biểu đồ trên chỉ là các môđun mR với m ∈ N il(M ), nhờ vào định nghĩa dùng tích.của các môđun con. Theo [4], một môđun M được gọi là tựa nội xạ chính nếu cho.mỗi m ∈ M và mỗi đồng cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M.sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ mR. Một số kết quả và mối liên hệ giữa môđun.tựa nội xạ chính và vành tự đồng cấu của nó đã được nghiên cứuTheo [4], một môđun M được gọi là tựa nội xạ đơn nếu với mỗi môđun con.đơn N của M và mỗi đồng cấu f : N → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M.sao cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ N . Rõ ràng ta có.tựa nội xạ chính ⇒ tựa nội xạ đơnBên cạnh đó, hướng thứ hai cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứuTrong [5], Nicholson-Yousif đã đưa ra khái niệm một môđun M được gọi là