Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Đề thi cao học Huế 2010

Đề thi cao học Huế 2010 Các đề thi được xây dựng với nội dung đa dạng phong phú với hàm lượng kiến thức hoàn toàn nằm trong chương trình theo qui định của Bộ Giáo dục và Đào tạo.Tài liệu dùng làm tham khảo rất hay. | BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ Họ và tên thí sinh . Số báo danh . KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NÃM 2009 Đợt 2 Môn thi GiẢi TÍCH Dành cho cao học Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực dn n. Chứng minh rằng nếu chuỗi 00 Ũ n l hội tụ tại X X0 thì nó sẽ hội tụ tại mọi X X0. b. Cho chuỗi hàm 2n 1 _ v2 1 1 1 1 1 X n l Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm 1 . Tính tổng của chuỗi hàm 1 . Câu 2. Cho X d là một không gian mêtric. Trên X ta định nghĩa a. Chứng minh rằng d _ là một mêtric trên X. b. Chứng minh rằng X d là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi X d _ cũng là một không gian mêtric đầy đủ. Câu 3. Cho X Y là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và A X Y là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện với mỗi dãy xn n c X hội tụ về 0 thì dãy A xn n bị chặn. Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Câu 4. Xét không gian Hilbert phức ỉ 2 gồm tất cả các dãy số phức X xn n sao cho z n 1 I Xn I 2 00 với tích vô hướng X y z ìXnỹ . Giả sử ưn n là một dãy số phức bị chặn. Cho A ỉ2 ỉ2 xác định bởi Ax anx n x xn n E T2. a. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của A. b. Chứng minh rằng nếu ưn n là dãy số thực thì A là một toán tử tự T Ghi chú Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009 Câu 1. 4đ a. Ta có a. 00 00 Z n 1 -n 1 ỴLXO fix xo n l n l Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi X X0. Ta có Iín x Iín - nên ta chỉ cần xét chuỗi trong 1 1 . Với bất kỳ y-2 2 72 a e 0 1 ta có I u x I -3 7 1 333 1 33 Vx e a a . 1- Z l-az 1 a Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi X A 1 và hội tụ đều trên các khoảng a a 00 - a_ 1 - 00 . _a Do Iín x 00 khi X 1 nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng 1 1 b. Chú ý X 1 1 1 X2 1 X 1 X2 Do đó x2Ìl 1 1 1 1 ĩ 2k 1 À l-X2k l-x2k 1 l-x l-x2k 1 k l k l Vậy X Câu 2. 2đ a. 1đ Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric 0 5đ Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm t ĩ 7 đơn điệu tăng trên 0 00 . 0 5đ b. 1đ xn cơ bản trong V ả xn cơ bản trong V