Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Phương trình đa thức bất khả quy

Tham khảo tài liệu 'phương trình đa thức bất khả quy', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 3. Đa thức bất khả quy 3.1. Đa thức với hệ số nguyên Đa thức với hệ số nguyên là đa thức có dạng P x anxn an-1xn-1 . aix ao với ai là các số nguyên. Ta ký hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên là Z x . Ta có các kết quả cơ bản sau đây về đa thức với hệ số nguyên. ì Nếu P x có nghiệm nguyên x a thì phân tích được P x x-a Q x với Q x là đa thức với hệ số nguyên. 2 Nếu a b nguyên và a b thì P a - P b chia hết cho a - b. 3 Nếu x p q là một nghiệm của P x với p q 1 thì p là ước của a0 và q là ước của an. Đặc biệt nếu an 1 thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên. 4 Nếu x m 4ñ là nghiệm của P x với m n nguyên n không chính phương thì x m -4ñ cũng là nghiệm của P x . 5 Nếu x m 4ñ với m n nguyên n không chính phương thì P x M N Jñ với M N nguyên. Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên. Điều ngược lại không đúng có những đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nhưng các hệ số của nó không nguyên. Ví dụ. Các đa thức x2-x 2 x3-x 6 nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Đa thức với hệ số hữu tỷ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi là đa thức nguyên. Một đa thức với hệ số hữu tỷ P x bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng a Q x với a b là các số nguyên và Q x là đa thức với hệ số nguyên. b 3.2. Đa thức bất khả quy Định nghĩa. Cho P x là đa thức với hệ số nguyên. Ta gọi P x là bất khả quy trên Z x nếu P x không phân tích được thành tích hai đa thức thuộc Z x với bậc lớn hơn hay bằng 1. Tương tự định nghĩa đa thức bất khả quy trên Q x . Định lý 3.1 Tiêu chuẩn Eisenstein Cho P x anxn an- -1 . . a1x a0. Nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho i an không chia hết cho p ii a0 a1 . an-1 chia hết cho p iii a0 không chia hết cho p2 thì đa thức P x bất khả quy. Định lý 3.2 Quan hệ bất khả quy trên Z x và Q x Nếu đa thức P x e Z x bất khả quy trên Z x thì cũng bất khả quy trên Q x . Bổ đề Gauss. Ta gọi đa thức P e Z x là nguyên bản nếu các hệ số của nó nguyên tố cùng nhau. Ta có bổ đề Gauss Tích của hai đa thức nguyên bản là nguyên bản. Chứng