Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Sử dụng hàm lồi giải các bài toán cực trị trong tam giác

Báo viết "Sử dụng hàm lồi giải các bài toán cực trị trong tam giác" trình bày các áp dụng tính chất lồi, lõm của hàm số để giải bài toán cực trị lượng giác dạng đối xứng và không đối xứng trong tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết! | Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 SỬ DỤNG HÀM LỒI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Lê Thị Bình Trường THPT Sầm Sơn Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Báo cáo trình bày các áp dụng tính chất lồi lõm của hàm số để giải bài toán cực trị lượng giác dạng đối xứng và không đối xứng trong tam giác. 1 Tính chất của hàm lồi lõm khả vi Định nghĩa 1.1 xem 2 3 . Hàm số f x được gọi là hàm lồi lồi xuống dưới trên tập I a b R nếu với mọi x1 x2 I a b và với mọi cặp số dương α β có tổng α β 1 ta đều có f αx1 βx2 α f x1 β f x2 . Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 ta nói hàm số f x là hàm lồi thực sự chặt trên I a b . Định lý 1.1 xem 2 3 . Nếu f x khả vi bậc hai trên I a b thì f x lồi lõm trên I a b khi và chỉ khi f 00 x 0 f 00 x 0 trên I a b . Định lý 1.2. Jensen . Giả sử f x liên tục trên a b . Khi đó điều kiện cần và đủ để hàm số f x lồi trên I a b là x x f x1 f x2 1 2 f x1 x2 I a b . 1.1 2 2 Định lý 1.3 Bất đẳng thức Karamata . Cho hai dãy số xk yk I a b k 1 2 . . . n thoả mãn các điều kiện x1 x2 gt . . . x n y1 y2 gt . . . y n và x1 y1 x1 x2 y1 y2 . 1.2 x 1 x 2 x n 1 y 1 y 2 y n 1 x1 x2 x n y1 y2 y n 1 Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 Khi đó ứng với mọi hàm lồi f x với f 00 x 0 trên I a b ta đều có f x1 f x2 . . . f x n f y1 f y2 . . . f y n . Tiếp theo xét lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1 2 . Sử dụng định lý Lagrange ta có thể chứng minh kết quả sau. Bổ đề 1.1. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp hai f 00 x trên khoảng a b . a Nếu f 00 x 0 với mọi x a b tức hàm số f x khả vi bậc hai và lồi trên a b thì f x f x0 f 0 x0 x x0 với x0 a b . b Nếu f 00 x 0 với mọi x a b tức hàm số f x khả vi bậc hai và lõm trên a b thì f x f x0 f 0 x0 x x0 với x0 a b . Tiếp theo ta xét lớp các hàm đơn điệu liên tiếp bậc 1 2 đó là các hàm đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai không đổi dấu trên I a b . Định nghĩa 1.2 xem 3 . Nếu hàm đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai đều dương trong khoảng đang xét thì ta nói hàm số đó đồng biến liên tiếp bậc 1 2 trên khoảng đã cho. Định