Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số

"Bài giảng Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số" trình bày các kiến thức về tích phân phục thuộc tham số; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; một số tích phân đặc biệt. | Chương 5 Tích phân phụ thuộc tham số 5.1. Tích phân phụ thuộc tham số . 183 5.1.1. Khái niệm . 183 5.1.2. Tính liên tục . 184 5.1.3. Tính khả vi . 186 5.1.4. Tính khả tích . 187 5.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 188 5.2.1. Khái niệm . 188 5.2.2. Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều . 189 5.2.3. Tính liên tục . 194 5.2.4. Tính khả vi . 196 5.2.5. Tính khả tích . 196 5.3. Một số tích phân đặc biệt . 197 5.3.1. Tích phân Dirichlet . 198 5.3.2. Tích phân Euler loại I . 199 5.3.3. Tích phân Euler loại II . 201 5.1. Tích phân phụ thuộc tham số 5.1.1. Khái niệm Giả sử hàm f xác định trên hình chữ nhật a b α β R2 và với mỗi điểm y α β cố định f khả tích theo x trên a b . Khi ấy tích phân b f x y dx a là một hàm số theo biến y. Ta nói tích phân là tích phân phụ thuộc tham số với tham số y. Ký hiệu b I y f x y dx . a 184 Giải tích các hàm nhiều biến Lưu ý rằng thay vì y α β có thể xét y U Rn và khi ấy I y là một hàm nhiều biến. Tuy nhiên phần lớn các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với y Rn tương tự như khi y R vì vậy trong giáo trình này chúng ta chỉ xét tích phân phụ thuộc một tham số. Ngoài ra vì trong tích phân hai cận a và b cố định nên người ta còn nói là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không đổi. Nếu như trong b ψ y và a ϕ y là những hàm phụ thuộc y thì ta nói ψ y f x y dx là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi. ϕ y Thí dụ. Tính một số tích phân phụ thuộc tham số sau đây 1 1 I y sin y 2 x dx là tích phân phụ thuộc tham số y với mọi y R. Ta có thể 0 tính ngay được 0 nÕu y 0 I y 1 . 1 cos y 2 nÕu y 0 y 2 1 2 2 I y1 y2 y1e y2 x dx là tích phân phụ thuộc tham số y1 y2 và xác định với 0 mọi y1 y2 R2. Hàm này không biểu diễn được dưới dạng các hàm sơ cấp. 5.1.2. Tính liên tục Chúng ta vẫn dùng ký hiệu I y cho tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi và giả thiết rằng f xác định trên hình chữ nhật a b α β R2 và a ψ y b a ϕ y b với mọi y α β . Định lý. Giả thiết f liên tục trên miền a b α β ψ