Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Chương 4: Bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc

Tính thuần nhất bậc (đồng bậc, thuần nhất) là một tiêu chuẩn đầu tiên phải tính đến khi so sánh các đại lượng. Các bất đẳng thức cổ điển ta đã biết như bất đẳng thức giữa trung các đại lượng trung bình, Cauchy, Holder, Minkowski, Chebychev, . . . , đều là các bất đẳng thức dạng đồng bậc. Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập tới các phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức đồng bậc, cũng như cách chuyển từ một bất đẳng thức không đồng bậc về một bất đẳng thức. | Chương 4 Bat đăng thức dạng thuẫn nhất bậc Tính thuần nhất bậc đồng bậc thuần nhất là một tiêu chuẩn đầu tiên phải tính đến khi so sánh các đại lượng. Các bất đẳng thức cổ điển ta đã biết như bất đẳng thức giữa trung các đại lượng trung bình Cauchy Holder Minkowski Chebychev . đều là các bất đẳng thức dạng đồng bậc. 1 Trong chương này chúng ta sẽ đề cập tói các phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức đồng bậc cũng như cách chuyển từ một bất đẳng thức không đồng bậc về một bất đẳng thức đồng bậc. Nắm vững và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp này chúng ta có thể chứng minh được nhiều lóp bất đẳng thức sơ cấp. 4.1 Bất đăng thức dạng thuần nhất bậc Hàm số f Xi X2 . Xn của các biến số thực Xi X2 . xn được là hàm thuần nhất bậc m nếu vói mọi số thực t ta có f tXi tX2 . tXn tmf xi X2 . Xn vói t e R 0 và Xi e R i 1 2 . n m n e N m 0 n 2. Số tự nhiên m được gọi là bậc của đa thức đồng bậc. Bất đẳng thức dạng f Xi X2 . Xn 0 vói f là một hàm thuần nhất được gọi là bất đẳng thức thuần nhất bậc m . Khái niệm bất đẳng thức đồng bậc liên quan chặt chẽ vói đa thức đồng bậc. Thí dụ hai đa thức sau là hai đa thức đồng 1Đây là một chương trong cuốn sách Bất đẳng thức Suy luận Khám phá đã xuất bản của tác giả Phạm Văn Thuận Lê Vĩ. 119 4.2. Đồng bậc hoá bất đẳng thức 120 bậc đồng bậc g x x5 y5 8x2y3 f x x2y 4yx2 - 3x3 10y3. Từng đơn thức trong đa thức thứ nhất có bậc là năm còn mỗi đơn thức trong đa thức thứ hai có bậc là ba. Cũng cần chú ý rằng đa thức kiểu như f x x 2y 3 101x2 không phải là đồng bậc. 4.2 Đồng bậc hoá bất đẳng thức Vói những bất đẳng thức có điều kiện ta có thể chuyển về dạng bất đẳng thức đồng bậc. Điều kiện cho trưóc thường là một hệ thức liên hệ giữa các biến số. Từ giả thiết đã cho ta có thể viết bất đẳng thức cần chứng minh dưói dạng đồng bậc. Bài toán 4.1. Cho các số thực không âm a b thoả mãn điều kiện a b 2 chứng minh dãy bất đẳng thức 2 a2 b2 a3 b3 a4 b4. Chứng minh. Ta lần lượt chứng minh từng bất đẳng thức. Mỗi vế bất đẳng thức hơn kém nhau một .