Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Hàm số thực theo một biến số thực

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn giải tích cơ bản - Hàm số thực theo một biến số thực | Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Môn Giải tích cơ bản GV PGS.TS. Lê Hoàn Hóa Đánh máy NTV Phiên bản 2.0 đã chỉnh sửa ngày 19 tháng 10 năm 2004 HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIEN số thực 1 Giới hạn liên tục Định nghĩa 1.1 Cho I c R điểm x0 E R được gọi là điểm giới hạn hay điểm tụ của I nếu với mọi ỏ 0 I n xo ỏ xo ỏ x0 0. Cho f I R và xo là điểm giới hạn của I. Ta nói lim f x a E R Ve 3ỏ 0 Vx E I 0 x x0 ỏ f x a e X X0 lim f x œ œ VA E R 3ỏ 0 Vx E I 0 x x0 ỏ f x A f x A X X0 Định nghĩa 1.2 Cho f I R và x0 E I. Ta nói f liên tục tại x0 Ve 0 3ỏ 0 Vx E I x x01 ỏ f x f x0 e Nếu x0 là điểm giới hạn của I thì f liên tục tại x0 lim f x f x0 X X0 Nếu f liên tục tại mọi x E I ta nói f liên tục trên I. f liên tục trên I Vx E I Ve 0 3ỏ 0 Vx E I x x ỏ f x f x e Ta nói f liên tục đều trên I Ve 0 3ỏ 0 Vx x E I x x ỏ f x f x e Hàm số liên tục trên một đoạn Cho f a b R liên tục. Khi đó i f liên tục đều trên a b . ii f đạt cực đại cực tiểu trên a b . Đặt m min f x x E a b M max f x x E a b . Khi đó f a b m M nghĩa là f đạt mọi giá trị trung gian giữa m M . 1 2 Sự khả vi T Tn . X f x0 t f x0 Định nghĩa 2.1 Cho f I R và x0 E I. Ta nói f khả vi tại x0 nếu lim - - tồn tại hữu hạn. Khi đó đặt f x0 lim x fM gọi là đạo hàm của f tại x0 t o t Nếu f khả vi tại mọi x E I ta nói f khả vi trên I. Định lí 2.1 Cauchy Cho f g a b R liên tục trên a b khả vi trên a b . Giả sử f x 0 trên a b . Khi đó tồn tại c E a b sao cho f c g b g a g c f b f a Trường hợp g x x ta có công thức Lagrange f b f a f f c b a Quy tắc Lôpitan Cho x0 E R hoặc x0 œ f g khả vi trong lân cận của x0. Giả sử g và g khác không và lim f x lim g x 0 hoặc lim f x lim g x œ hoặc œ. X X0 X X0 X X0 X X0 f x . f x X Khi đó Nếu lim A thì lim A A có thể là hữu hạn hoặc vô hạn . X X0 g x X X0 g x Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân Cho f liên tục u v khả vi. Đặt v x F x Ịf t dt u x Khi đó F khả vi và F x v x f v x u x f u x . 3 Vô cùng bé - Vô cùng lớn Hàm f được gọi là lượng vô cùng bé khi x x0 nếu lim f x 0. X X0 Cho f g là hai lượng vô cùng bé