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Báo cáo toán học: "Sur le produit tensoriel relatif d'espaces de Hilbert "

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học ngành toán học tạp chí Journal of Operator Theory đề tài: Trên sản phẩm tensor của không gian Hilbert trên. | J. OPERATOR THEORY 9 1983 237-252 Copyright by INCREST 1983 SUR LE PRODUIT TENSOR1EL RELATIF D ESPACES DE HILBERT JEAN-LUC SAUVAGEOT INTRODUCTION Le produit tensoriel relatif d espaces de Hilbert est une procedure qui à un couple H K d espaces de Hilbert munis respectivement d une structure de N-mo-dule à droite et de jV-module à gauche N étant une algèbre de von Neumann fixee associe un espace de Hilbert H g JV K elle obéit aux deux contraintes sui-vantes 1 elle est fonctorielle c est-à-dire cue si H K est un autre couple d es-paces de Hilbert avec les mêmes propriétés on peut faire le produit tensoriel Tỵ N T2 de deux opérateurs d entrelacement e H Tz e k K K 2 elle efface le N-N bimodule L N de la representation standard de TV en ce sens que le foncteur K - Á2 TV N K de la catégorie des espaces de Hilbert munis d une représentation normale non dégénérée de N dans elle-même est equivalent au foncteur identité. Il est facile de verifier qu une telle procedure existe et qu elle est unique à une equivalence fonctorielle près. Mais cette demarche abstraite n est guère utilisable et 1 auteur 8 dans le cas où N est commutative puis A. Connes 2 en toute génẻralité proposent une construction exp icite au moyen d un poids n.s.f.f. auxi-liaire V sur N du produit tensoriel relatif H v K qui est un espace de Hilbert engendré par des tenseurs élémentaires ỉ g v rj ệ e H tj e K OU t v-borné. On dispose ainsi d une machinerie opératoire qui permet de réécrire en termes d ampliation relative un certain nombre de résultats classiques de la théorie des algèbres de von Neumann. Par exemple le théorème fondamental de la théorie des representations Deux representations fideles d une algèbre de von Neumann peuvent se déđuire 1 une de 1 autre par une ampliation suivie d une reduction 3 1.4 théorème 3 devient 238 JEAN-LUC SAUVAGEOT Deux representations fideles d une algèbre de von Neumann se déduisent canoniquement 1 une de 1 autre par une ampliation relative corollaire 3.4 ci-dessous .