Nhằm giúp các em học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi HSG tốt hơn. mời các em tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2021-2022 có đán án - Sở GD&ĐT Bình Dương để giúp các em ôn tập và hệ thống kiến thức môn học, nâng cao kĩ năng giải đề và biết phân bổ thời thời gian hợp lý trong bài thi. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2021 2022 MÔN THI TOÁN Thời gian 90 phút Không kể thời gian phát đề Câu 1. HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022 Giải phương trình sau trên tập số thực x 4 x 2 1 2 2 x 4 x 2 . 4 x x 5 x 1 Lời giải 2 x 4 2 x 4 Điều kiện 2 x 4. 4 x x 5 0 4 x 4 x 1 0 Ta có x 4 x 2 1 2 2 x 4 x 2 4 x x 5 x 1 x 1 x 4 x 2 1 4 x x 5 2 2 x 2 x 2 x 2 9 x 16 x 2 2 x 2 4 x x 2 2 4 x 3x 11 0. 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được x 9 x 16 x 2 2 x 2 4 x x 2 2 2 4 x 3x 11 x 9 x 16 x 1 2 x 2 5 x 3x 11 2 2 1 3 1 2 x 10 x 2 33x 36 x 4 x 3 0 x 2 4 . 2 2 Như vậy vế trái của 1 nhỏ hơn hoặc bằng 0. Do đó phương trình có nghiệm khi x 4 x 3 x 2 1 x 3. 4 x x 2 4 x 1 Thử lại ta kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x 3 . Câu 2. HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022 Cho các số nguyên tố thỏa mãn p1 p2 p3 p4 và p4 p1 8 . Giả sử p1 5 . Chứng minh rằng p1 chia 30 dư 11. Lời giải Từ giả thiết thì p2 p3 chỉ có thể nhận hai trong ba giá trị lần lượt là p1 2 p1 4 p1 6 . p2 p1 2 Trường hợp 1 thì trong ba số p1 p2 p3 có một số chia hết cho 3. p3 p1 4 Điều này là vô lí. p2 p1 4 Trường hợp 2 thì trong ba số p2 p3 p4 có một số chia hết cho 3. p3 p1 6 Điều này là vô lí. p1 2 mod 3 Do đó p2 p1 2 p3 p1 6 p4 p1 8 . Từ đó suy ra . p1 1 mod 5 Kết hợp với p1 lẻ ta suy ra p1 11 mod 30 tức ta có điều cần phải chứng minh. 1 3 5 2n 1 Câu 3. HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022 Cho dãy số un với un . . . . Tính lim un . 2 4 6 2n 2 Lời giải Ta có 2 4 6 2n 2 2n 1 2n 3 . Do đó . 2n 2 . 2n 1 2 . 2n 3 . 2n 1 2n 3 . Suy ra 1 3 5 2n 1 1 0 un . . . . 2 4 6 2n 2 2n 3 1 Áp dụng nguyên lý kẹp vì lim 0 nên lim un 0 . 2n 3 Câu 4. HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022 Một hàng cây bưởi Tân Uyên gồm 17 cây thẳng hàng được đánh số cây theo thứ tự là các số tự nhiên từ 1 đến 17. Ban đầu mỗi cây có một con ong đậu trên đó để hút mật hoa. Sau đó cứ mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược nhau. Hỏi sau một số giờ có hay không trường
