Đề tài báo cáo xoay quanh một số tính chất của trường hữu hạn và của đa thức trên trường hữu hạn. Đây là những kiến thức cơ sở và cơ bản nhất để chúng ta có thể tiếp tục tìm hiểu về ứng dụng của trường hữu hạn trong Toán học. Các kết quả chính bao gồm cấu trúc một trường hữu hạn, phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy. | KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG HỮU HẠN ĐA THỨC TRÊN TRƢỜNG HỮU HẠN Phạm Bá Đức Nguyễn Thị Ngọc Anh Lớp K61CLC Khoa Toán Tin GVHD ThS. Nguyễn Hữu Kiên Tóm tắt Trường hữu hạn là một vấn đề hay của Đại số hiện đại nó có nhiều ứng dụng trong hình học hữu hạn trong đại số tổ hợp hay trong lí thuyết mật mã. Do đó đề tài báo cáo lần này chủ yếu xoay quanh một số tính chất của trường hữu hạn và của đa thức trên trường hữu hạn. Đây là những kiến thức cơ sở và cơ bản nhất để chúng ta có thể tiếp tục tìm hiểu về ứng dụng của trường hữu hạn trong Toán học. Các kết quả chính bao gồm cấu trúc một trường hữu hạn phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy. Từ khóa Trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn phân tích đa thức thành nhân tử trên trường hữu hạn. I. MỞ ĐẦU Cho F là một trƣờng có hữu hạn phần tử. Khi đó char F là số nguyên tố và số lƣợng phần tử của F là p n . Ngƣợc lại với p n cố định thì luôn tồn tại một trƣờng hữu hạn có p n phần tử sai khác một đẳng cấu . Kí hiệu trƣờng hữu hạn có q p n phần tử là Fq . Khi đó ta xét các đa thức trên Fq . Đề tài đặt ra vấn đề tìm hiểu phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy đánh giá về định lƣợng và định tính của phân tích. Trƣớc hết là định lƣợng thông qua đánh giá số nghiệm phƣơng trình X q X trên Fq x f x . Tiếp theo ta đi tìm biểu diễn các nhân tử của phân tích thông qua các nghiệm của phƣơng trình X q X trên Fq x f x . Từ đó mô tả các nhân tử và bậc lũy thừa của các nhân tử trong phân tích. Các kết quả đƣợc trình bày là các kết quả đã biết về tính chất chung của trƣờng hữu hạn và đa thức trên trƣờng hữu hạn. Mục đích các tác giả là chứng minh các kết quả một cách độc lập sơ cấp và ngắn gọn chỉ sử dụng các kết quả đã học trong học phần ĐSĐC và lí thuyết Galois. Các kết quả sâu hơn về đề tài đòi hỏi thời gian nghiên cứu dài hơn và các công cụ mạnh hơn. Đề tài đƣợc chia thành 3 mục nhỏ. Mục 1 trình bày một số kiến thức về đại số đại cƣơng. Mục 2 .
