Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu "Đề thi HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi" sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo. | SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi NĂM HỌC 2021-2022 Thời gian làm bài 180 phút Môn Toán Câu 1. 2 điểm un 3 Cho dãy số un n 1 xác định bởi u1 0 un 1 n 1 . 5 un a Chứng minh rằng dãy un n 1 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. n 1 Tn b Đặt Tn . Tìm lim . k 1 uk 3 n 5n 4 Câu 2. 2 điểm Tìm tất cả các hàm số f sao cho f y f x f x 2018 y 2017 yf x x y . Câu 3. 2 điểm Có bao nhiêu cách lát kín bảng 2 2022 bởi các viên domino 1 2 và 2 1 Câu 4. 2 điểm Cho tam giác nhọn ABC với AB BC . Cho I là tâm nội tiếp của tam giác ABC và là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại K . Đường thẳng AK cắt tại điểm thứ hai T . Cho M là trung điểm của BC và N là điểm chính giữa cung chứa A của . Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC ở P . Chứng minh rằng BC a Cho KI cắt BIC tại điểm thứ hai X thì N T X thẳng hàng. b PM AK . Câu 5. 2 điểm Cho dãy số xn 1 n xo a là nghiệm dương của phương trình x2 kx 1 0 k k 1 với số nguyên dương k cho trước. Khi đó chứng minh rằng xn 1 xn 1 1 mod k . Giải Câu 1 a Ta chứng minh bằng quy nạp theo n dãy un bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng. n 1 x 3 Ta có u1 1. Giả sử un 1 n . Vì hàm f x là đồng biến trên khoảng 5 x 1 nên un 1 un 1 f un f 1 1. Vậy un 1 với mọi n . 3 Ta có u2 u1 . Giả sử un un 1 n 2 . Do un un 1 1 và f là đồng biến trên khoảng 5 1 nên un 1 f un f un 1 un . Vậy dãy un tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. n 1 a 3 a 1 Đặt lim un a a 1 . Suy ra a . n 5 a a 3 Vậy lim un 1. n 4 uk 1 3 1 1 2 b Ta có uk 3 1 k 2 . 5 uk 1 uk 3 4 uk 1 3 1 n 1 1 1 n 1 Tn 2 n 1 u1 3 k 2 uk 3 3 4 k 2 uk 1 3 1 1 1 1 n Tn . 12 4 2 un 3 1 1 1 Tn 1 Suy ra Tn n lim . 6 2 un 3 n 5n 4 10 Câu 2 Giả sử hàm số f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trong 1 thay y bởi f x ta có f 0 f x 2018 f x 2017 f x 2 x 2 . 2018 Trong 1 thay y bởi x ta có f x 2018 f x f 0 2017 x 2018 f x x 3 . Từ 2 và 3 suy ra f x f x x 0 x 2018 4 . Vậy nếu có x0 sao cho f x0 0 thì f .
