Chu trình Euler và chu trình Hamilton là hai loại chu trình rất nổi tiếng trong Lý thuyết Đồ thị, mà tên gọi của chúng gắn với tên của các nhà khoa học tìm ra nó. Không những thế, chúng còn nổi tiếng vì một số bài toán liên quan vẫn còn là những bài toán mở. Chu trình Euler Khái niệm chu trình Euler được ra đời từ bài toán nổi tiếng sau đây. Ví dụ (Bài toán 7 cây cầu ở Konigsberg): Thành phố Konigsberg thuộc nước Cộng hoà Litva có con sông Pregel chảy qua,. | BÀI 12 Chương 7 Chu trình euler và chu trình hamilton Chu trình Euler và chu trình Hamilton là hai loại chu trình rất nổi tiếng trong Lý thuyết Đồ thị mà tên gọi của chúng gắn với tên của các nhà khoa học tìm ra nó. Không những thế chúng còn nổi tiếng vì một số bài toán liên quan vẫn còn là những bài toán mở. . Chu trình Euler Khái niệm chu trình Euler được ra đời từ bài toán nổi tiếng sau đây. Ví dụ Bài toán 7 cây cầu ở Königsberg Thành phố Konigsberg thuộc nước Cộng hoà Litva có con sông Pregel chảy qua giữa sông có cù lao Kneiphof tạo nên bốn vùng đất. Người ta đã xây dựng 7 cây cầu để nối các vùng đất này lại với nhau như hình vẽ dưới đây. Hình . Bảy cây cầu trên sông Pregel Năm 1736 L. Euler nhà toán học người Thuỵ sĩ đã đưa ra bài toán sau đây Hỏi có thể đi qua cả 7 cây cầu mỗi cầu chỉ đi qua một lần rồi quay trở về đúng chỗ xuất phát được hay không Bài toán đã làm say mê cư dân của thành phố. Họ háo hức đi thử nhưng không thành công. Sau đó chính L. Euler đã chứng minh được rằng bài toán trên là không giải được. Nếu biểu diễn mỗi vùng đất A B C D bằng đỉnh của một đa đồ thị vô hướng và có cạnh nối giữa chúng nếu có cầu nối tương ứng thì bài toán trên đưa về việc tìm một chu trình đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần. Hình . Đa đồ thị biểu diễn thành phố Konigsberg Từ bài toán trên người ta đã đưa ra các khái niệm sau đây Định nghĩa Đường Euler của đa đồ thị là đường đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần. Chu trình Euler của đa đồ thị là chu trình đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần. Từ định nghĩa trên ta có điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của chu trình vô hướng Euler như sau. Định lý Đa đồ thị liên thông G có chu trình vô hướng Euler khi và chỉ khi mỗi đỉnh đều có bậc chẵn. Chứng minh Mỗi lần chu trình đi qua một đỉnh thì đỉnh đó bớt đi hai cạnh kề. Cuối cùng số cạnh kề của mỗi đỉnh bằng 0. Do đó số cạnh kề với mỗi đỉnh phải là một số chẵn. Xuất phát từ một đỉnh a nào đó ta lập dãy cạnh kề liên tiếp cho đến khi hết khả năng .
