Trong bài này chúng ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và nghịch biến) của hàm số. Đồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính đơn điệu trong việc chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. | http Chuyên đề 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trong bài này chúng ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu tức là tính đồng biến và nghịch biến của hàm số. Đồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính đơn điệu trong việc chứng minh bất đẳng thức giải phương trình bất phương trình và hệ phương trình. A. TÓM TẮT GIÁO KHOA Giả sử K là một khoảng một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định trên K. I ĐỊNH NGHĨA Hàm số f được gọi là đồng biến tăng trên K nếu Vx1 x2 eK x1 x2 f X1 f x2 Hàm số f được gọi là nghịch biến giảm trên K nếu Vx1 x2 eK x1 x2 f x1 f x2 Minh họa Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. II CÁC ĐỊNH LÝ 1 Định lý 1 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K. a Nếu hàm số f x đồng biến trên K thì f x 0 với mọi x e K b Nếu hàm số f x nghịch biến trên K thì f x 0 với mọi x e K f x đồng biến trên K f x 0 với mọi x e K dạng mệnh đề kéo theo f x nghịch biến trên K f x 0 với mọi x e K 2 Định lý 2 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K. a Nếu f x 0 với mọi x e K thì hàm số f x đồng biến trên K b Nếu f x 0 với mọi x e K thì hàm số f x nghịch biến trên K c Nếu f x 0 với mọi x e K thì hàm số f x không đổi trên K f x 0 với mọi x e K f x đồng biến trên K http f x 0 với mọi x e K f x nghịch biến trên K f x 0 với mọi x e K f x không đổi trên K Chú ý quan trọng Khoảng K trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nữa khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó . Cụ thể Nếu hàm số liên tục trên đọan a b và có đạo hàm f x 0 trên khoảng a b thì hàm số f đồng biến trên đọan a b Nếu hàm số liên tục trên đọan a b và có đạo hàm f x 0 trên khoảng a b thì hàm số f nghịch biến trên đọan a b 3 Đinh lý 3 Định lý mở rộng Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K. a Nếu f x 0 với mọi x e K và f x 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số
