Tham khảo tài liệu 'đại số cơ sở', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | ĐẠI SỐ CƠ SỞ Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 18 tháng 3 năm 2005 Bài 8. Các Bài Toán Kiểm Tra Vành Và Vành Con Cũng như kỹ năng kiểm tra nhóm kỹ năng kiểm tra vành là một trong những kỹ năng cơ bản luôn có mặt trong các đề thi đại số cơ sở. Trên cơ sở kế thừa các tri thức về nhóm ta có thể định nghĩa khái niệm vành như sau Định nghĩa Vành là một nhóm cộng giao hoán X được trang bị thêm một phép toán nhân có tính chât kết hợp Vx y z E X xy z x yz và có tính chất phân phối đối với phép cộng Vx y z E X x y z xy xz và y z x yx zx Như vậy Vành là một tập X 0 trên đó đã xác định được hai phép toán hai ngôi một kí hiệu theo lối cộng còn lại kí hiệu theo lối nhân thỏa 1. X là nhóm giao hoán. 2. Phép nhân trong X có tính chất kết hợp. 3. Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Muốn kiểm tra một tập X cho trước với các phép toán đã cho là một vành hiển nhiên là chúng ta sẽ phải lần lượt kiểm tra các điều kiện định nghĩa đã đưa ra ở trên. 1. Ví dụ 1 Chứng minh rằng tập Mn các ma trận thực vuông cấp n là một vành với hai phép toán cộng và nhân ma trận. Giải Hiển nhiên tổng hay tích của hai ma trận thực vuông cấp n lại là một ma trận thực vuông cấp n nên các phép cộng nhân ma trận là các phép toán hai ngôi trên Mn. Theo 1 lý thuyết nhóm ta đã có Mn là nhóm cộng giao hoán. Theo đại số tuyến tính ta biết phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp và có tính chất phân phối đối với phép cộng ma trận. Vậy theo định nghĩa Mn . là một vành. Nhận xét Khi kiểm tra vành X đòi hỏi trước hết phải kiểm tra X là nhóm giao hoán nếu điều đó đã được kiểm tra trong phần nhóm thì ta có thể không cần phải kiểm tra lại mà chỉ nhắc rằng điều đó đã được kiểm tra trước đây trong lí thuyết nhóm rồi. Cũng như ở bên nhóm nếu như một đòi hỏi nào đó trong định nghĩa vành chẳng hạn tính chất kết hợp của phép nhân. nếu đã được đảm bảo bởi kết quả của một chuyên ngành nào đó chẳng hạn đại số tuyến tính số học . thì ta cũng chỉ cần nói lại rằng điều đó đã có theo .
