Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 thông tin đến các bạn lời giải của đồng phương Toán học, củng cố kiến thức cho kỳ thi THPT sắp đến. tài liệu. | Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 (Ngày thi thứ hai) Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Ngày thi thứ hai Thời gian: 180 phút Bài 5 (7 điểm). Nếu không là ước nguyên tố của bất kì nào thì ta có thể chọn bất kì và bài toán được chứng minh. Giả sử ngược lại, là một ước nguyên tố của ít nhất một trong các số . Gọi là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho | . Gọi = = số mũ của trong . Ta chứng minh rằng với mọi thì hoặc - hoặc || . (Kí hiệu || có nghĩa là xuất hiện với số mũ trong ). Trước hết ta chỉ ra bằng qui nạp theo ≥ 1 rằng + ≡ (mod 2 ). Viết (︃ )︃ ∑︁ ∑︁ 2 −2 ( ) = 0 + = 1 + , =2 =2 (điều kiện ′ (0) = 0 nói rằng luỹ thừa bậc nhất của không xuất hiện trong khai triển của ). Với = 1 thì (︃ )︃ ∑︁ −2 +1 = ( ) = 2 + 1 ≡ 1 (mod 2 ). ≥2 Như vậy, +1 ≡ 1 (mod 2 ). Giả sử khẳng định đúng với , nghĩa là + ≡ (mod 2 ). Từ đó suy ra ( + ) ≡ ( ) (mod 2 ), hay + +1 ≡ +1 (mod 2 ). Như vậy theo nguyên lý qui nạp thì khẳng định được chứng minh. Bây giờ cố định số nguyên dương bất kì sao cho | . Viết = + với 0 ≤ ≤ − 1. Giả sử > 0. Thế thì ta có ≡ ( −1)+ ≡ · · · ≡ (mod 2 ). Nói riêng, | với < , nhưng điều này mâu thuẫn với cách chọn của . Như vậy, = 0 và do đó = . Thế nhưng đồng dư ở trên cũng nói rằng ≡ (mod 2 ). Bởi vì || , đồng dư này cho thấy || . Bài toán được chứng minh. Bài 6 (7 điểm). (a) tiếp xúc ( ). Trước tiên ( ) là đường tròn đường kính (ký hiệu là [ ]) và theo tính chất quen biết trong tam giác: "Đường thẳng đi qua giao điểm ′ ̸= của ( ) và [ ]". Suy ra chính
