Bài viết "Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp" có nội dung trình bày về dạng lượng giác của số phức; các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số; rút gọn một số tổng tổ hợp, chứng minh các đẳng thức tổ hợp; các bài toán đếm; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP Đặng Thị Mến THPT Chuyên Hưng Yên 1 Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z 6 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Khi đó số đo rađian của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Chú ý Nếu ϕ là acgumen của z thì mọi acgumen của z đều có dạng ϕ k2π k Z. Acgumen của z 6 0 xác định sai khác k2π k Z. Cho số phức z a bi a b R với r a2 b2 là mođun của số phức z và ϕ là acgumen của số phức z. Dạng z r cos ϕ i sin ϕ được gọi là dạng lượng giác của số phức z 6 0 còn dạng z a bi được gọi là dạng đại số của số phức z. Nếu z r cos ϕ i sin ϕ z0 r 0 cos ϕ0 i sin ϕ0 r 0 và r 0 0 thì zz0 rr 0 cos ϕ ϕ0 i sin ϕ ϕ0 z r 0 cos ϕ ϕ0 isin ϕ ϕ0 khi r 0 gt 0 . z 0 r r cos ϕ i sin ϕ n r n cos nϕ i sin nϕ n N . cos ϕ i sin ϕ n cos nϕ i sin nϕ n N . Kí hiệu cos ϕ i sin ϕ eiϕ gọi là lũy thừa của e với số mũ ảo. Cho z r cos ϕ i sin ϕ khi đó z còn được biểu diễn dưới dạng z reiϕ được gọi là dạng mũ của số phức z. Các phép toán viết lại 0 0 z r 0 z reiϕ z0 r 0 eiϕ suy ra 0 .ei ϕ ϕ 0 0 .ei ϕ ϕ z0 6 0 . z r z iϕ zn r n einϕ . eiϕ e iϕ eiϕ e iϕ Công thức Ơle Euler cos ϕ sin ϕ . 2 2i Cho số phức z và số nguyên n 2 số phức w được gọi là căn bận n của z nếu wn z. Nếu z r cos ϕ i sin ϕ r gt 0 thì căn bậc n của z gồm n số phân biệt xác định bởi n ϕ k2π ϕ k2π wk r cos i sin k 0 1 . . . n 1. n n 259 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Khi n 2 có hai căn bậc hai của z là ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ r cos i sin r cos i sin r cos π i sin π . 2 2 2 2 2 2 Căn bậc n của đơn vị Căn bậc n của số phức z 1 gọi là căn bậc n của đơn vị. Từ định nghĩa ta có các căn bậc n k2π k2π của đơn vị là wk cos i sin k 0 1 2 . . . n 1. n n w là một căn bậc n của đơn vị và được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu mọi số nguyên dương m lt n ta có wm 6 1. Tính chất căn nguyên thủy bậc n của đơn vị Nếu w là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì 1 wk w2k wk n 1 0 với k n
