Bài viết "Phương pháp giải phương trình hàm sinh bởi hàm hợp qua các kỳ Olympic" nhằm trình bày một số phương pháp giải các dạng toán về phương trình hàm sinh bởi hàm hợp qua các kỳ thi Olympic những năm gần đây và xét các ứng dụng liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM HỢP QUA CÁC KỲ O LYMPIC Nguyễn Thị Bích Ngọc Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình Tóm tắt nội dung Báo cáo này nhằm trình bày một số phương pháp giải các dạng toán về phương trình hàm sinh bởi hàm hợp qua các kỳ thi Olympic những năm gần đây và xét các ứng dụng liên quan. 1 Một số dạng phương trình giải bằng phương pháp thế biến Bài toán 1 THTT Bài T11 434 . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn các điều kiện f x f y 3y2 f 3xy y f 3y2 x 4xy x y x y R. 1 Lời giải. Thay x 0 vào 1 ta được f 3y2 f y f 3y2 y y R hay f y y. Thử lại ta thấy hàm số f x x thỏa mãn điều kiện bài ra. Bài toán 2 THTT Bài T11 451 . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn điều kiện 1 2 f x2 f y 4y f x với mọi x y R. 2 2 Lời giải. Thay x 0 vào 2 ta thu được 1 2 1 f f y 4y f 0 4y a2 y R 2 2 với a f 0 . Vì vế phải là hàm bậc nhất theo y nên suy ra f là song ánh. Thay y 0 vào 2 ta được 1 2 f x2 f 0 f x với mọi x R. 2 Tiếp tục thay x bởi x trong ta được 1 2 f x2 f 0 f x với mọi x R. 2 189 Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 Từ và suy ra f 2 x f 2 x với mọi x R. Trường hợp f x f x chỉ xảy ra khi x x x 0 do f là song ánh . Vậy f x f x với mọi x 6 0. Vì f là song ánh nên tồn tại duy nhất số b sao cho f b 0. Nếu b 6 0 thì f b f b và vì vậy f b f b 0 nên b 0 mâu thuẫn. Do vậy f 0 0. Vậy f x f x với mọi x R tức f là hàm lẻ. Khi đó có dạng f f x 4x x R và có dạng 1 2 f x2 f x 0 x R 2 tức f x 0 khi x 0. Thế vào 1 ta thu được 1 2 f x2 f y f f y f x với mọi x y R 2 hay f u v f u f v u 0 v R. Trong thay u bởi u với u lt 0 v bởi v và sử dụng tính chất f là hàm lẻ ta được f u v f u f v u lt 0 v R f u v f u f v u lt 0 v R f u v f u f v u lt 0 v R. Từ và suy ra f u v f u f v u v R. Tiếp theo sử dụng tính chất f x 0 khi x 0 ta thu đươc f x là hàm đơn điệu tăng do vậy là hàm đồng biến vì f là song ánh . Thật vậy nếu x gt y thì f x f y x y f y f x y f y . Ta chứng .
