Tiếp phần 1, Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 cung cấp những kiến thức thật cơ bản về Phương trình vi phân, hướng đến giải quyết được một số mô hình kinh tế qua việc thiết lập quỹ đạo thời gian. Trong Giáo trình đã đề cập đến việc Phân tích thị trường và hai mô hình tăng trưởng Domar và Solow. Mời các bạn cùng tham khảo! | Chương 3 BÀI TOÁN TỐI ƢU 1. CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ . Cực trị 1. Định nghĩa Hàm số y f x đƣợc gọi là đạt cực đại cực tiểu tại a Df nếu tồn tại một lân cận V a nào đó của điểm a V a Df sao cho f x lt f a f x gt f a x V a a Các giá trị cực đại cực tiểu đƣợc gọi chung là các cực trị. Cực trị của một hàm số mang tính chất địa phương vì chỉ đƣợc xét trong một lân cận V a . 2. Điều kiện cần Định lý Nếu hàm số y f x đạt cực trị tại a thì y a 0 hoặc không tồn tại y a Những điểm mà y a 0 đƣợc gọi là các điểm dừng. Các điểm dừng và các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm đƣợc gọi là điểm ngờ có cực trị . Cho nên muốn tìm các cực trị ta chỉ cần xét trên tập hợp các điểm ngờ. 3. Điều kiện đủ a. Định lý Điều kiện đủ thứ 1 Giả sử hàm số y f x xác định và liên tục trong V a có đạo hàm hữu hạn trong V a có thể trừ tại a và a là một điểm ngờ. Nếu f x đổi dấu từ sang - khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực đại tại x a Nếu f x đổi dấu từ - sang khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực tiểu tại x a. b. Định lý Điều kiện đủ thứ 2 Giả sử f a f a . f n-1 a 0 và f n a 0 n N và n 2 . Khi đó Nếu n là một số chẵn thì hàm số y f x đạt cực trị tại x a Hàm số đạt cực đại tại x a nếu f n a lt 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x a nếu f n a lt 0 Nếu n là một số lẻ thì hàm số y f x không đạt cực trị tại x a. . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Xét hàm số y f x trên a b . Nếu hàm số liên tục trên a b theo Weierstrass hàm số đạt giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất trên a b . Các điểm này hoặc là các điểm ngờ trong a b hoặc 2 đầu mút a và b. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất maxy giá trị nhỏ nhất miny của hàm số trên a b ta xét tập các giá trị của hàm số tại các điểm ngờ trong a b và f a f b . Sau đó trên tập các giá trị vừa tìm đƣợc ta chọn ra maxy và miny. 2. Ví dụ Tìm maxy miny của y x4 - 2x2 1 trong -2 2 60 Ta tìm các điểm dừng trên -2 2 Cho y 0 hay 4x3 - 4x 0 ta có x1 0 x2 - 1 x3 1 và x1 x2 x3 -2 2 Tính f -2 9 f 2 9 f 1 0 f -1 0 f 0 1 Vậy maxy 9 và miny 0 . Bài toán tối ƣu Bài .
