Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn tri tuyet doi hiệu của hai cạnh còn lại. Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải. | BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH ĐlỀU HOÀ. Bài toán 1. 11. 1 Cho hai cặp số dương x1 x2 và y1 y2 ta có -p -p -1-1- 1 - - --------------- x1 x2 y y2 x1 x2 y y2 1 gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà đối với hai cặp số. Chứng minh. 1 x1 y x2y2 x1 x2 y 1 y2 x1 y x2 y2 x1 x2 y y 2 x1 y x2 y2 x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y1 x1 x2 y y2 x2 y2 x1 y x1 y2 - x2 y 2 0 v x1 x2 yp y2 Mở rộng bài toần cho n số tự nhiên ta có Mênh đề 1 Cho hai bộ n số tự nhiênxi yi i 1 n ne N ta có n t i 1 Xi yi 1 1 . . n n t xi t yi i 1 i 1 2 1 1 1 2 được gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà với hai bộ n số dương. Chứng minh 1 Giả sử 2 đúng với n k nghĩa là k 1 t-------ĩ . . 1 1 1 1 i 1 L -f k k Xi yi tXi tyi i 1 i 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X1 y1 x2 y2 . xk yk Ta chứng minh cho 2 đúng với n k 1. Thật vậy k 1 t i 1 k t i 1 xi yi xi yi xk 1 yk 1 1 11 n n t xi t yi i 1 i 1 1 i xk 1 yk 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k Áp dụng bất đẳng thức 1 cho hai cặp số t xi xk 1 và t yi yk 1 ta có 1 1 1 1 1 11 1 k k xk 1 yk 1 E x i 1 E yi i 1 ỉ - 1 1 k 1 k 1 E xi E yi i 1 i 1 kk Đẳng thức xảy ra khi E xi E yi xk 1 yk 1 i 1 i 1 x1 y x2 y2 xk 1 yk 1 x y x2 y2 xk yk Vậy ta đã chứng minh được 2 . Chúng ta mở rộng 1 theo hướng khác ta có Mênh đề2. Cho 3 cặp số dương x1 x2 y1 y2 z1 z1 ta có 11 1 - -7- .-7- -7-7-7- 111 111- 1 1 1 - - - x1 y Z1 x2 y2 Z2 x1 x2 y y2 Z1 Z2 3 gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà với 3 cặp số dương. Chứng minh. 3 1 1 11 1 11 1 x1 y z x2 y2 Z2 1 T x1 áp dụng 1 cho hai cặp số dương Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 1 1 1 1 L 1 1 1 1 1 x2 1 n x1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 z1 y2 z2 y1 z1 y2 z2 x1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 z1 y2 z2 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 y1 z1 -y2 r z2 Tiếp tục áp dụng 1 cho hai cặp số dương y1 y2 z1 z2 ta được. 1 1 1 y1 z1 1 1 . 11 1 . 1 - - y2 z2 y1 y2 z1 z2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y1 y2 z1 z2 T- - X1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 y Z1 y2 z2 --- 1 - X1 x2 1 1 1 1 1 - - y y2 Z1 Z2 1 1 1 1 - - - X1 x2 y y2 Z1 Z2 11 1 Vây y 11 1 111 1 1 1 - - - X1 y Z1 x2 y2 Z2 X1 x2 y y2 Z1 Z2 x1 Đẳng .
