Đây là tài liệu phương pháp chứng minh dồn biến cổ điển và bất đẳng thức với hướng dẫn chứng minh bất đẳng thức cụ thể, chi tiết , có bài toán và bài giải minh hoạ giúp các bạn học tốt môn Toán. | dồn biến cổ ĐIỂN VÀ BẤT ĐANG THÚC JACK Garfunkel Võ Quốc Bá Cẩn Đại học Y Dược Cần Thơ Ngày 9 tháng 5 năm 2008 Tóm tắt nội dung Trong bài này chúng ta sẽ giới thiệu một cách chứng minh bằng phép dồn biến cổ điển cho bất đẳng thức sau b a pb c c 5 Ệ va b c ực a 4 Bất đẳng thức này được tác giả Jack Garfunkel đề nghị trên tạp chí Crux Magazine năm 1991 bài toán 1490 . Đây là một bài toán hay và khó mặc dù hiện nay đã nhận được nhiều lời giải cho nó nhưng một lời giải bằng phép dồn biến thuần túy thì đến nay vẫn chưa nhận được. Trước hết chúng ta cần có kết quả sau làm bổ đề phụ trợ cho chứng minh bất đẳng thức Jack Garfunkel Bài toán 1 Cho các số không âm a b c tất cả không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng a b I c 1 4a 4b c 4b 4c a 4c 4a b 3. Phạm Kim Hùng LỜI GIẢI. Chuẩn hóa cho a b c 3 khi đó bất đẳng thức trở thành a b I c 1 3 c 3 a 3 b a 3 a 3 b b 3 b 3 c c 3 c 3 a 3 a 3 b 3 c a2 b b2 c c2 a abc 4 Không mất tính tổng quát giả sử b là số hạng nằm giữa a và c thế thì ta có c b a b c 0 1 1 J 1 T T o Ấ T k r Ẳ Copyright by Võ Quôc Bá Cân b2 c c2 a abc bc2 a b b c c a abc b a c 2b a c a c 1 f 2b a c a c 3 i 4. 27 Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c hoặc a b c 2 1 0 . Nhận xét 1 Đây là một bổ đề khá chặt và có thể được dùng để giải nhiều bài toán khác các bạn hãy ghi nhớ nó nhé Ngoài ra chúng ta có thể làm mạnh bổ đề như sau a b b c c a abc abc 3 ab bc ca 4 Võ Quốc Bá Cẩn Bây giờ chúng ta sẽ đi đến giải quyết bài toán chính Bài toán 2 Cho các số không âm a b c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng N-L íNt 5 pa b c. Va b Vb c Vc a 4 Jack Garfunkel Lời GIẢI. Ta xét 2 trường hợp Trường hợp 1. c b a khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có 2 a b c vo b b c a a a b c f b b -y- ---- b c c c a Lại có do c b a nên abc a b b c c a 3 1 a b b c c a 2 2 a b b c c a 3 c a c b b a 3 25 2 _ a b b c c a 2 16 Nên hiển nhiên a pa b 2 .7 - 5pa b c y b c y c a 4 Trường hợp 2. a b c. Copyright by Võ Quôc Bá Cân 2 Trường hợp .
