Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; phép biến đổi tuyến tính; đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc; dấu của dạng toàn phương; các dạng bài tập chính; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Chƣơng 4 DẠNG TOÀN PHƢƠNG 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN . Các khái niệm Định nghĩa 1 Một tổng có dạng 1 2 1 1 Trong đó 1 gọi là một dạng toàn phƣơng của các biến 1 2 . Ma trận của dạng toàn phƣơng 1 là 11 1 1 Nhận xét . Thông thƣờng DTP đƣợc cho dƣới dạng 1 2 Khi đó các phần tử của ma trận đƣợc xác ị định bởi và 2 Ví dụ 1 Tìm ma trận của dạng toàn phƣơng sau a 1 2 12 6 1 2 3 22 b 1 2 3 12 2 1 2 2 3 22 3 32 Định nghĩa 2 Hạng của DTP Hạng của dạng toàn phƣơng là hạng của ma trận của dạng toàn phƣơng đó. Dạng toàn phƣơng đƣợc gọi là suy biến nếu hay . Dạng toàn phƣơng đƣợc gọi là không suy biến nếu hay . Dạng toàn phƣơng chính tắc chuẩn tắc. Dạng toàn phƣơng chính tắc Dạng toàn phƣơng chính tắc là dạng toàn phƣơng có dạng 1 2 2 2 1 Dạng toàn phƣơng chuẩn tắc Dạng toàn phƣơng chính tắc đƣợc gọi là dạng toàn phƣơng chuẩn tắc nếu chỉ nhận các giá trị Ví dụ 2 1 2 3 12 8 22 32 là dạng toàn phƣơng chính tắc. 1 0 0 Ma trận 0 8 0 0 0 1 1 2 3 12 22 là dạng toàn phƣơng chuẩn tắc. 1 0 0 Ma trận 0 1 0 0 0 0 . Phép biến đổi tuyến tính Đặt suy ra . Khi đó 1 trở thành Định nghĩa 3 Cho ma trận . Phép biến đổi tuyến tính không suy biến từ biến X sang biến Y là Khi đó dạng toàn phƣơng 3 trở thành Ví dụ 3 DTP chính tắc 1 2 1 2 có thể đƣa về DTP chuẩn tắc bằng phép đặt 1 1 1 2 2 2 . 2. ĐƢA DTP VỀ DTP CHÍNH TẮC CHUẨN TẮC. 1. Phương pháp giá trị riêng Phương pháp 2. Phương pháp Jacobi 3. Phương pháp Lagrange . Phƣơng pháp giá trị riêng Xét dạng toàn phƣơng 1 Định thức gọi là phƣơng trình đặc trƣng ẩn k của 1 Định lý Giả sử là các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng của dạng toàn phƣơng 1 kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội . Khi đó dạng toàn phƣơng chính tắc của 1 là Ví dụ 4 Tìm các giá trị riêng và đƣa dạng toàn phƣơng sau về dạng toàn phƣơng chính tắc 1 2 3 4 3 12 32 2 2 3 4 3 4 . Phƣơng pháp Jacobi Cho ma trận Các định thức con chính đầu của A là Định lý Jacobi Nếu ma trận của một DTP có Di 0 i 1 2 .n thì DTP chính tắc của nó là Định lý Jacobi mở rộng Nếu r A k và D1 D2 .Dk 0 Dk 1 Dk 2
