Bài giảng Toán cao cấp 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới hạn và tính liên tục; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân hàm một biến; lý thuyết chuỗi; .Mời các bạn cùng tham khảo! | NGUYỄN QUỐC TIẾN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 GIẢNG VIÊN NGUYỄN QUỐC TIẾN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 10 2011 NGUYỄN QUỐC TIẾN 1 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Giới hạn dãy số Dãy số Một dãy số thực là một ánh xạ x từ tập các số tự nhiên đến tập các số thực R . x n x n xn x n thường được ký hiệu là xn gọi là số hạng thứ n của dãy. Một dãy số với các số hạng là xn thường được viết gọn là xn . 1 1 1 1 Ví dụ 1 xn với xn . Khi đó x1 1 x2 x3 . xn . n 2 3 n 2 xn với xn 1 n . Khi đó x1 1 x2 1 x3 1. xn 1 n . Giới hạn của dãy số Dãy xn được gọi có giới hạn là a nếu 0 n0 0 n n0 xn a Khi đó ta cũng nói dãy xn hội tụ về a. Kí hiệu lim xn a hoặc xn a n . Nếu dãy n xn không hội tụ thì ta nói dãy xn phân kỳ. n Ví dụ Cho dãy số xn với xn . Chứng minh lim xn 1 n 1 n Ta có n 1 xn 1 1 n 1 n 1 do đó khi muốn xn gần 1 bao nhiêu cũng được ta đặt xn 1 0 hay 1 0 n 1 1 n 1 1 1 Chọn n0 1 phần nguyên của 1 . Khi đó n n0 thì xn gần 1 bao nhiêu cũng được. Hay lim xn 1 n 1 NGUYỄN QUỐC TIẾN Định lí. Nếu dãy xn hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất a b Chứng minh. Giả sử xn a và xn b a b khi n chọn 0 theo định nghĩa về 2 giới hạn của dãy tồn tại n01 n02 N sao cho n n01 xn a và n n02 xn b . 2 2 Đặt n0 max n01 n02 . Khi đó với n n0 ta có a b a b xn a xn b 2 2 2 a b suy ra a b . Điều này vô lí. Vậy a b . 2 Định lí . Cho ba dãy xn yn zn . Nếu xn yn z n n N và lim xn lim zn a n n thì lim yn a n Chứng minh. Vì lim xn lim zn a nên n0 N n n0 xn a zn a do đó n n 2 2 n n0 yn a xn a z n a . 2 2 Vậy lim yn a n Cho x0 R -lân cận của x0 là khoảng số thực có dạng x0 x0 0 . Giới hạn của hàm số Định nghĩa Cho hàm số f x xác định trong một lân cận của x0 có thể trừ tại x0 . Số L được gọi là giới hạn của hàm số f x khi x dần đến x0 nếu 0 0 x D 0 x x0 f x L và được kí hiệu lim f x L hay f x L khi x x0 . x x0 Giới hạn của hàm số f x khi x dần đến x0 còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số như sau lim f x L xn xn .
