Tham khảo “Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn” dành cho các bạn học sinh lớp 12 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống lại kiến thức học tập nhằm chuẩn bị cho kì thi sắp tới, cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề kiểm tra cho quý thầy cô. Hi vọng với đề thi này làm tài liệu ôn tập sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi TOÁN lớp 12 CHUYÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang 05 câu x2 1 x Câu 1 4 điểm . Giải hệ phương trình y2 1 y 1 . 3 x 2 y 2 x x 2 y 6 10 u1 a 0 Câu 2 4 điểm . Cho dãy số un xác định bởi 3 . un 1 2 u n 1 n n 1 a Chứng minh rằng un 1 n 1 a 1 với mọi n 1 n và dãy số un có giới hạn. 2 b Tìm tất các giá trị của a để u2 k 1 u2 k 1 và u2 k 2 u2 k với mọi k 1 k . Câu 3 4 điểm . Cho hàm số f thỏa mãn f xf x f y y f 2 x với mọi x y 1 . a Giả sử rằng f 0 0 chứng minh rằng f x là song ánh. b Tìm f 0 và tất cả các hàm số thỏa mãn 1 . Câu 4 6 điểm . Cho tam giác ABC có ba đường cao AD BE CF cắt nhau tại H . Gọi S T lần lượt là trung điểm của AB AC . Đường thẳng ST cắt BE CF lần lượt tại M N . a Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MTH NSH vuông góc với AH . b Gọi P P lần lượt là ảnh đối xứng của B E qua CH . Gọi Q Q lần lượt là ảnh đối xứng của C F qua BH . Chứng minh rằng P Q P Q đồng viên. c Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC . Câu 5 2 điểm . a Cho số nguyên dương n . Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn tính chất khi lấy ra k phần tử phân biệt bất kì từ tập hợp 1 2 3 . 2n gồm 2n số nguyên dương liên tiếp thì luôn có 2 phần tử được lấy ra mà số này chia hết cho số kia. b Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho ước nguyên tố lớn nhất của n 4 1 lớn hơn 2n . -Hết- Họ và tên thí sinh . Số báo danh . Chữ kí giám thị số 1 . Chữ kí giám thị số 2 . . 0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 12 CHUYÊN Hướng dẫn chấm gồm 05 trang Chú ý Những cách giải khác HDC mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định. Câu Nội dung Điểm 1 4 đ x2 1 x y2 1 y 1 1 3 x 2 y 2 x x 2 y 6 10 2 x 2 y 2 0 Điều kiện . 1 0 x 2 y 6 0 Nhận xét từ 1 có y 2 1 y
